Beweisen Sie die folgenden Aussagen für einen Vektorraum \( V \).
Für jeden endlich erzeugten Untervektorraum \( U \subset V \) und jeden Vektor \( \mathbf{v} \in V \) gilt:
\(\operatorname{dim}(U+\langle\mathbf{v}\rangle)=\left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{dim} U & \text { falls } \mathbf{v} \in U \\
\operatorname{dim} U+1 & \text { falls } \mathbf{v} \notin U
\end{array}\right.\)

Notation: $\langle\mathbf{v}\rangle$ = $span(\mathbf{v})$

Den ersten Fall $v \in U$ konnte ich bereits lösen, der zweite bereitet mir ein paar Schwierigkeiten. Hier mein Ansatz:
Es gilt: $\operatorname{dim} (U+\langle\mathbf{v}\rangle) = \operatorname{dim}U+\operatorname{dim}\langle\mathbf{v}\rangle-\operatorname{dim}(U \cap \langle\mathbf{v}\rangle)$

Mein Problem liegt haupsächlich beim bestimmen von $U \cap \langle\mathbf{v}\rangle$:
$$U \cap \langle\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{U}\rangle \cap \langle\mathbf{v}\rangle = \left\{\sum \limits_{i=1}^{n}\lambda_iu_i \bigg|\lambda_i \in K, u_i \in U \right\} \cap \left\{\sum \limits_{i=1}^{n}\lambda_i v \bigg|\lambda_i \in K, v \notin U \right\} = \varnothing$$
Gilt jeztzt sowas wie: $\varnothing = \langle\mathbf{\varnothing}\rangle$ (wobei mir das wegen $\langle\mathbf{\varnothing}\rangle = \{\vec{0} \}$ etwas suspekt erscheint)?
Oder kommt oben einfach direkt  $\{\vec{0} \}$ heraus und ich verwechsle gerade die Mengenlehre mit Eigenschaften vom Vektorraum?