Zeige: $dim(U+\langle\mathbf{v}\rangle) = dimU +1$

Erste Frage Aufrufe: 195     Aktiv: 18.05.2022 um 18:34

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Beweisen Sie die folgenden Aussagen für einen Vektorraum \( V \).
Für jeden endlich erzeugten Untervektorraum \( U \subset V \) und jeden Vektor \( \mathbf{v} \in V \) gilt:
\(\operatorname{dim}(U+\langle\mathbf{v}\rangle)=\left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{dim} U & \text { falls } \mathbf{v} \in U \\
\operatorname{dim} U+1 & \text { falls } \mathbf{v} \notin U
\end{array}\right.\)

Notation: $\langle\mathbf{v}\rangle$ = $span(\mathbf{v})$

Den ersten Fall $v \in U$ konnte ich bereits lösen, der zweite bereitet mir ein paar Schwierigkeiten. Hier mein Ansatz:
Es gilt: $\operatorname{dim} (U+\langle\mathbf{v}\rangle) = \operatorname{dim}U+\operatorname{dim}\langle\mathbf{v}\rangle-\operatorname{dim}(U \cap \langle\mathbf{v}\rangle)$

Mein Problem liegt haupsächlich beim bestimmen von $U \cap \langle\mathbf{v}\rangle$:
$$U \cap \langle\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{U}\rangle \cap \langle\mathbf{v}\rangle = \left\{\sum \limits_{i=1}^{n}\lambda_iu_i \bigg|\lambda_i \in K, u_i \in U \right\} \cap \left\{\sum \limits_{i=1}^{n}\lambda_i v \bigg|\lambda_i \in K, v \notin U \right\} = \varnothing$$
Gilt jeztzt sowas wie: $\varnothing = \langle\mathbf{\varnothing}\rangle$ (wobei mir das wegen $\langle\mathbf{\varnothing}\rangle = \{\vec{0} \}$ etwas suspekt erscheint)?
Oder kommt oben einfach direkt  $\{\vec{0} \}$ heraus und ich verwechsle gerade die Mengenlehre mit Eigenschaften vom Vektorraum?
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Das ganze geht einfacher, wenn du eine Basis \(v_1,\ldots, v_m\) von \(U\) wählst,  dann ist \(U=span(v_1,\ldots, v_m\) und dann ist der Schnitt trivial (in beiden Sinnen :D). Ansonsten zeige, dass \((v_1,\ldots,  v_m, v)\) eine Basis von \(U+span(v)\) ist, hier reicht lineare Unabhängigkeit aus.
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Vielen lieben Dank ersteinmal für deine Antwort. Dennoch hätte ich eine kleine Rückfrage. $v \in V$ ist ja ein einzelnes Element aus dem Vektorraum V. Warum kann ich dann eine Basis $v_1,...,v_m$ von U finden, wenn 1) $v \notin U$ und 2) $v$ nur ein Element ist. Was sollen in diesem Fall die Indizes $1,2,...,m$ heißen?
LG
  ─   1osh 18.05.2022 um 18:23

\(v_1,\ldots, v_m \in V\) sind auch Vektoren aus \(U\). Weil \(U\) endlich erzeugt ist, finden wir also ein minimales Erzeugendensytstem (Basis) von \(U\). Wenn wir nun die Basis \((v_1,\ldots, v_m)\) von \(U\) um \(V\) erweitern, erhalten wir eine Basis \((v_1,\ldots, v_m,v)\) von \(U+span(v)\)   ─   mathejean 18.05.2022 um 18:34

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