Menge aller endlichen Teilmengen ist abzählbar unendlich

Erste Frage Aufrufe: 734     Aktiv: 28.11.2021 um 18:06
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Gegeben ist die Menge A aller endlichen Teilmengen von ${N}$
$A:= \{B \subset {N} |$ B ist endlich$ \}$
Jetzt soll ich zeigen, dass A abzählbar unendlich ist.

Mein Ansatz:
$A \subset {N} \rightarrow $ A ist abzählbar
zz: $|A| = |{N}|$
A enthält ja alle möglichen, n-elementigen Teilmenge, im Grunde genommen hört es sich für mich danach an, dass $A = Pot({N})$ ist. Also irgendwas in die Richtung: $|Pot({N})| = |{N}| $. Hier ergibt sich halt nur das Problem, dass $Pot({N})$ überabzählbar ist und ${N}$  eben abzählbar. Also kann das ja irgendwie nicht so passen, wie ich mir das vorstelle. Kann mir da jemand weiterhelfen?
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Es gilt nicht $A=\mathcal{P}(\mathbb{N})$, da $\mathbb{N}\notin A$, aber $\mathbb{N}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$. 

Finde eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen $A$ und $\mathbb{N}$.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Vielen Dank für eure schnellen Rückmeldungen. Wenn ich also zeigen will, dass $|A| =|\mathbb{N}| $ ist, muss die Abbildung $f: A \rightarrow \mathbb{N}$ bijektiv sein, d.h. es muss gelten:

1. $ \forall x_1,x_2 \in A: x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$
2. $ \forall y \in \mathbb{N} \exists x \in A: y = f(x)$

Ich muss aber ehrlich zugeben, dass ich nicht weiß, wie ich diese allgemeinen Definitionen konkretisieren kann. Mir fällt da auch irgendwie keine Abbildungsvorschrift zu sein. :/
   ─   enrico.delsolos 28.11.2021 um 10:41
Ich hab jetzt den Mittag über nachgedacht, aber ich bräuchte immernoch Hilfe.   ─   enrico.delsolos 28.11.2021 um 15:56
Naja, also wenn ich das durchzählen möchte, dann verwendet man am besten die Ordnung von Cantors Diagonalarugment. Somit kann ich jeder Teilmenge eine natürliche Zahl zuordnen. Wenn ich jetzt die Abbildung $f:A \rightarrow \mathbb{N}$ habe, kann ich dann z.B. einfach sagen, dass die Abbildungsvorschrift $x \mapsto x$ ist? Dann wird ja jeder Teilmenge durch Cantor eine natürliche Zahl zugeordnet und auf sich selbst abgebildet. Im Prinzip die identische Abbildung und die ist ja offentsichtlich für $A \subset \mathbb{N}$ und $f:A \rightarrow \mathbb{N}$ bijektiv.   ─   enrico.delsolos 28.11.2021 um 16:37
Die Idee dahinter war zu sagen, der Teilmenge $\{1,2 \}$ wird durch Cantor jetzt die Zahl, keine Ahnung 3 oder so zugeordnet und dann wird die 3 auf die 3 abgebildet, aber das scheint ja dann so nicht zu funktionieren. Hmm blöd
   ─   enrico.delsolos 28.11.2021 um 16:52

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.