Verständnisfrage zu einem Integral, partielle Integration

Aufrufe: 315     Aktiv: 11.02.2023 um 22:02

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Abend zusammen,

folgendes Integral möchte ich bestimmen:
\( \int_0^1 (x^2*e^{-x} )\) 
Hier wende ich ja dadurch, dass ich zwei x-Terme habe die partielle Integration an.
\( U=x^2 \text{ }  \text{ }U'=2x\text{ } sowie\text{ } V'=e^{-x} \text{ }\text{ }V=-e^{-x} \) 
Es ergibt sich: \(  x^2*(-)e^{-x} -\int2x*(-)e^{-x} \) Da ich immer noch ein Produkt habe kann ich die partielle Integration nochmal durchführen und erhalte mit
\( U=2x \text{ } \text{ }U'=2 \text{ }sowie\text{ } V'=-e^{-x} \text{ }\text{ } V=e^{-x} \) 
\(  x^2*(-)e^{-x} -((-2x*e^{-x}) \int2e^{-x})) \) 
Und dann würde sich ergeben:\( -x^2*e^{-x}+2x*e^{-x}+2e^{-x}\) 

Ich habe mal in die Lösung gespickt und festgestellt, dass die Vorzeichen mal so gar nicht passen.
Trotz mehrmaligem nachrechnen findeich nicht den Schritt, bei dem ich falsch die Vorzeichen benutze.
Auch bin ich mir ein wenig unsicher, ob ich denn die Vorzeichen inklusive Faktor einfach so vor das Integral ziehen darf, oder ob ich mir damit das Integral bei mehrmaligem integrieren zerschieße.

Danke für den Input im Voraus
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Die 1. part. Integration ist richtig.
Bei der Berechnung des Restintegrals hast du einen Vorzeichenfehler.
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Mein Eindruck (auch von der vorigen Frage zu Dgl) ist, dass Du gut in der Lage bist, dir neues anzueignen. Das können hier nicht viele. Es wird Dir schnelle Fortschritte bringen.
Bei der Sorgfalt musst Du noch etwas drauflegen.
Du hast doch vorhin gelernt, wie man den Malpunkt in LaTeX schreibt?! Bei allen Integralen fehlt das $dx$ am Ende (keine Kosmetik, ist wichtig!).
Und um Deine Lösung zu prüfen, brauchst Du nicht spicken, sondern kannst selbst die Probe durch Ableiten machen (was auch gleichzeitig weiter übt).
Dein wirres Hantieren mit den Vorzeichen hat Dich, nicht überraschend, auf Abwege gebracht (hätte es mich auch). So was wie $(-)$ gibt es nicht. Schreibe nach der ersten partiellen Integration das erste $-$ vor den ersten Term und das zweite ziehe aus dem Integral raus, dann wird es $+$ und alles wird einfacher.
Rechne im zweiten Schritt nur das noch fehlende Integral in einer Nebenrechnung aus.
Baue dann am Ende alles in einem Endergebnis zusammen (in der Form $\int x^2\cdot e^{-x}\, dx =.... +C$.
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