Wie @mikn schon gesagt hat, gibt es keine allgemeine Formel oder sonstige Tricks. Es gibt natürlich immer die Möglichkeit, numerisch die Nullstellen zu berechnen und wenn du ein richtiges rabbithole willst, schau dir an wie Computer Algebra System polynome (symbolisch) faktorisieren - das ist sicherlich interessant für Mathematikstudenten ab dem 3/4. Semester. 

Ansonsten gibt es noch eine andere Möglichkeit. Jedes reele Polynom kannst du in die Form 

$$\sum_{0=1}^N a_i x^i=a_N\prod_{k=1}^K (x-b_k) \prod_{l=1}^L (x^2+c_l x + d_l) $$
für $a_N \neq 0$ und mit $b_k,c_l,d_l \in \mathbb{R}$ und $K+2L\leq N$.

Wenn du ein polynom vierten Grades $p(x)$ (mit $a_4=1$) hast, hast du somit nur folgende 3 Möglichkeiten:

\begin{align*}
p(x)&=(x^2+c_1x+d_1)(x^2+c_2x+d_2) \\ p(x)&=(x-b_1)(x-b_2)(x^2+c_1x+d_1) \\ p(x)&=(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)(x-b_4). \end{align*}

Jetzt kannst du Koeffizientenvergleich betreiben um herauszufinden, welche der 3 Möglichkeiten stimmt. Aufwändig, aber gut möglich.