Extremstellen Polynomfunktionen > 3. Grades

Erste Frage Aufrufe: 140     Aktiv: 20.06.2024 um 15:51

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Hallo, ich wollte nachfragen wie man die Extrempunkte von Polynomfunktionen "berechnet" bzw. bestimmt. 
Also alle Polynomfunktionen die größer sind als von einer Funktion 3. Grades.
Könnte mir da jemand weiterhelfen.
Danke :)
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Wenn Du Polynome mit Grad >3 meinst, da gibt es keine allgemeinen Tricks. Es gibt noch Formeln für Nullstellen von Polynomen vom Grad 3, die wendet man aber nicht wirklich an. Wenn man also keine Nullstellen der Ableitung kennt, womit man den Grad reduzieren kann, gibt es keine allgemeinen Methoden. Wenn Du ein konkretes Polynom hast, lass mal sehen.
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Eine konkretes Beispiel wäre das hier:

f(x) = 7x^6 - 3x^4 -4x

Hier wird gefragt ob bzw. an welchen Stellen die Funktion ihr Minimum und ihr Maximum hat.
  ─   max.janda 20.06.2024 um 09:13

@mikn Der letzte Term ist $4x$ nicht $4$. Das Problem wirkt echt tricky in dieser Form.   ─   crystalmath 20.06.2024 um 12:48

Ja, falsch gelesen.   ─   mikn 20.06.2024 um 15:51

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Wie @mikn schon gesagt hat, gibt es keine allgemeine Formel oder sonstige Tricks. Es gibt natürlich immer die Möglichkeit, numerisch die Nullstellen zu berechnen und wenn du ein richtiges rabbithole willst, schau dir an wie Computer Algebra System polynome (symbolisch) faktorisieren - das ist sicherlich interessant für Mathematikstudenten ab dem 3/4. Semester. 

 

Ansonsten gibt es noch eine andere Möglichkeit. Jedes reele Polynom kannst du in die Form 

$$\sum_{0=1}^N a_i x^i=a_N\prod_{k=1}^K (x-b_k) \prod_{l=1}^L (x^2+c_l x + d_l) $$
für $a_N \neq 0$ und mit $b_k,c_l,d_l \in \mathbb{R}$ und $K+2L\leq N$.

Wenn du ein polynom vierten Grades $p(x)$ (mit $a_4=1$) hast, hast du somit nur folgende 3 Möglichkeiten:

\begin{align*}
p(x)&=(x^2+c_1x+d_1)(x^2+c_2x+d_2) \\ p(x)&=(x-b_1)(x-b_2)(x^2+c_1x+d_1) \\ p(x)&=(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)(x-b_4). \end{align*}

Jetzt kannst du Koeffizientenvergleich betreiben um herauszufinden, welche der 3 Möglichkeiten stimmt. Aufwändig, aber gut möglich.

 

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