Kostenminimum bestimmen bei Lagrangefunktion

Aufrufe: 539     Aktiv: 14.02.2021 um 11:07
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Hallo liebe Community,

ich habe folgende Kostenfunktion gegeben C(x1,x2) = 5x1x2 + 0,5x1^2 + 1,5x2^2 - 2x1 - 10x2 + 50. Gesucht ist das Kostenminimum.

Nebenbedingung ist: Es sollen 50 Stück produziert werden.

Also 0 = 50 - x1 - x2

Ich habe dementsprechend die Lagrange-Funktion aufgestellt.

Es sind auch Werte herausgekommen. x1 = 18 und x2 = 32. Allerdings scheint hier das Kostenmaximum zu sein.

Könnt ihr mit bitte weiterhelfen? Wie komme ich auf die Outputmengen im Kostenminium unter der Nebenbedingung. Ein Tipp reicht. Danke!

Viele Grüße




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Die Methode mit Lagrange-Multiplikatoren deckt nicht die Randpunkte des zu untersuchenden Bereichs ab, du musst also noch \(x_1=50,x_2=0\) und \(x_1=0,x_2=50\) untersuchen, der kleinere von beiden Werten ist dann das Minimum.
Hier sind Lagrange-Multipliaktoren übrigens nicht wirklich nötig, du kannst einfach \(x_2=50-x_1\) substituieren und das Minimum der dadurch entstehenden eindimensionalen Funktion analysieren.
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Hallo stal,

danke für die Erläuterung. Die Lagrange-Methode ist in der Aufgabe vorgegeben.

Ich habe also folgende Lagrange-Funktion: L(x1,x2,λ) = 5x1x2 + 0,5x1^2 + 1,5x2^2 - 2x1 -10 x2 + 50 + λ(50-x1-x2)

1.-> partielle Ableitung nach x1 = 5x2 + x1 -2 - λ

2.-> partielle Ableitung nach x2 = 5x1 + 3x2 - 10 - λ

3.-> partielle Ableitung nach λ = 50 - x1 - x2

Nach Auflösen der Gleichungen erhalte ich x1 = 18 und x2 = 32. Wenn ich diese Werte in die Kostenfunktion eingebe, erhalte ich Kosten in Höhe von 4272 GE. Setze ich jedoch andere Werte ein, z.B. x1 = 19 und x2 = 31, die zusammen 50 ergeben, liegen die Kosten immer unterhalb 4272 GE. Deswegen gehe ich davon aus, dass es sich um das Maximum handelt.

Wie kann man jetzt die von dir genannten Randpunkte in diese Rechnung einfügen? Das ist mir noch nicht klar.

Viele Grüße und Danke   ─   mathestarter21 13.02.2021 um 13:16
Du hast richtig erkannt, dass \((18,32)\) das Maximum ist. Folglich gibt es kein lokales Minimum. Da die Funktion stetig ist, muss sie aber auf der abgeschlossenen Menge ein Minimum annehmen, das muss dann am Rand liegen (stell dir z.B. die Parabel \(-x^2\) vor. Das Minimum im Intervall \([-1,2]\) kannst du auch nicht durch Differentialrechnung bestimmen, es liegt am Rand bei \(2\)). Du musst also einfach nur deine zwei Randpunkte in deine Funktion einsetzen und überprüfen, welcher von beiden den kleineren Wert liefert, dann hast du dein Minimum gefunden.   ─   stal 14.02.2021 um 11:07

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