Der üblicherweise zur Anwendung gebrachte Satz ist:
Satz: Es sei $f:R\longrightarrow R$ eine $T$-periodische Funktion, die stückweise stetig diffbar ist (d. h. in $[0,\,T]$ ist $f$ nur in endlich vielen Stellen (oder gar keinen) unstetig und die Ableitung $f'$ ist auch nur in endlich vielen Stellen (oder gar keinen) unstetig). Die zugehörige Fourier-Reihe sei $FR$. Dann gilt:
$FR(t)=\dfrac{f(t+)+f(t-)}2$
Dabei sind $f(t+)=\lim\limits_{x\to t+} f(x)$ und $f(t-)=\lim\limits_{x\to t-} f(x)$ der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert von $f$ in $t$.
Insb. gilt: $FR(t)=f(t)$ falls $f$ stetig in $t$ ist.

Kurz: überall, wo $f$ stetig ist, konv. die FR gegen $f(t)$ (diese Konvergenz ist punktweise). An Unstetigkeitsstellen dagegen nicht.
Auf einem Intervall, auf dem $f$ stetig ist, ist die Konvergenz gleichmäßig (beachte: die Grenzwertfunktion einer Folge von Funktionen ist stetig, wenn die Konvergenz gleichmäßig ist).
Oft betrachtet man eine Funktion nur auf einem Intervall, z.B. $f(x)=x^2$ auf $[0,1]$. Um den obigen Satz anwenden zu können, muss daraus erst eine auf ganz R definierte periodische Funktion gemacht werden (das wird oft übersehen und dann kommen Fehler rein).

Damit eine Fourierreihe konvergiert, müssen die sogenannten Lipschitz-Bedingungen erfüllt sein.
Die Konvergenz ist dann aber nur "gleichmäßig". D.h. die Konvergenz liegt eventuell nicht für jeden Punkt des Periodizitätsintervalls vor, sondern nur das Integral über das Intervall für die Differenzfunktion aus F(x) und der Fourierreihe verschwindet. Im Allgemeinen liegt an der Unsteitgkeitsstellen (oft Sprünge) keine Konvergenz vor, sondern die Reihe konvergiert dort gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert.