Konvergenz Fourierreihe

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Woher weiß ich, gegen welche Funktion die Fourierreihe konvergiert
und was ist dabei der Unterschied zur punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz

Am Beispiel f(x)=x²
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Der üblicherweise zur Anwendung gebrachte Satz ist:
Satz: Es sei $f:R\longrightarrow R$ eine $T$-periodische Funktion, die stückweise stetig diffbar ist (d. h. in $[0,\,T]$ ist $f$ nur in endlich vielen Stellen (oder gar keinen) unstetig und die Ableitung $f'$ ist auch nur in endlich vielen Stellen (oder gar keinen) unstetig). Die zugehörige Fourier-Reihe sei $FR$. Dann gilt:
$FR(t)=\dfrac{f(t+)+f(t-)}2$
Dabei sind $f(t+)=\lim\limits_{x\to t+} f(x)$ und $f(t-)=\lim\limits_{x\to t-} f(x)$ der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert von $f$ in $t$.
Insb. gilt: $FR(t)=f(t)$ falls $f$ stetig in $t$ ist.

Kurz: überall, wo $f$ stetig ist, konv. die FR gegen $f(t)$ (diese Konvergenz ist punktweise). An Unstetigkeitsstellen dagegen nicht.
Auf einem Intervall, auf dem $f$ stetig ist, ist die Konvergenz gleichmäßig (beachte: die Grenzwertfunktion einer Folge von Funktionen ist stetig, wenn die Konvergenz gleichmäßig ist).
Oft betrachtet man eine Funktion nur auf einem Intervall, z.B. $f(x)=x^2$ auf $[0,1]$. Um den obigen Satz anwenden zu können, muss daraus erst eine auf ganz R definierte periodische Funktion gemacht werden (das wird oft übersehen und dann kommen Fehler rein).
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Die Funktion f(x)=x² wurde als 2pi-periodisch angegeben und x ist Element aus [-pi,pi].
Wenn ich die Fourierreihe aufgestellt habe, weiß ich ja, dass FR(x)=f(x) ist. Also schau ich mir die Stetigkeit von f(x) an. In dem Fall ist x² stetig. Dann ist limFR(x)=x²=f(x) und ich überprüfe die Randwerte. Wenn diese alle übereinstimmen, dann konvergiert FR gleichmäßig, sonst nur punktweise gegen f(x)?
  ─   viola333 25.07.2021 um 09:29

Nein. Es wird nicht "f(x)=x^2 als periodisch angegeben", weil es das nicht ist. Beachte sorgfältig die Vorgehensweise: Man betrachtet f(x)=x^2 auf [-pi,pi]. Dies wird auf ganz R periodisch fortgesetzt, 2pi-periodisch, weil das die Länge des vorgegebenen Intervalls ist. Die neue Funktion nennen wir mal $\tilde f:R\longrightarrow R$ ist aber eben nicht f(x)=x^2, sondern es gilt nur $f(x)=\tilde f(x)$ auf [-pi,pi].
Was Du jetzt unbedingt machne solltest: Eine Skizze von $\tilde f$, das ist eben die Funktion, die die Vorausstzungen des obigen Satzes erfüllt und daher in eine FR entwickelt werden kann.
Melde Dich, wenn Du die Skizze gemacht hast, lade sie hier hoch.
  ─   mikn 25.07.2021 um 12:36

Leider weiß ich nicht, wie ich hier Bilder hochladen kann. Aus der Zwischenablage einfügen funktioniert nicht, eine Antwortfunktion habe ich nicht und ein Button zum Bildupload ebenfalls nicht.

Die Funktion ist jedoch im Intervall (-pi,pi) parabelförmig und wiederholt sich nach 2 pi Perioden immer, sodass sich "unten" Bogen ergeben und "oben" Spitzen. Die Funktion x^2 ist in ihrem Intervall sprich f~(x) ist stetig.
  ─   viola333 26.07.2021 um 09:39

Ist ok, nach Deiner Beschreibung passt das. Nochmal: Es wird nicht $f$ in eine FR entwickelt, sondern die erweiterte Funktion, die Du gezeichnet hast. Ich habe die oben $\tilde f$ genannt. Das ist NICHT f. Dieses $\tilde f$ wird gemäß obigen Satz in eine FR entwickelt, und für diesee gelten die Konvergenzeigenschaften. Diese kann man dann auf $f$ zurückspielen. Aber erstmal geht es um $\tilde f$, dieser Schritt darf nicht übersprungen werden.
Wende also jetzt den Satz auf $\tilde f$ an und sag, was Du raus hast. Ich will nichts von f darin lesen. Das machen wir danach.
  ─   mikn 26.07.2021 um 11:39

f~ ist stetig und wird als FR entwickelt.
FR(t)=1/3pi^2 + 4*Summe(n=1 bis unendlich) ((-1)^n)/(n^2) * cos(nx)

  ─   viola333 vor 5 Tagen, 23 Stunden

Super, stimmt alles. Gewöhne Dir aber an, die Bereiche mitzudenken: f~ ist stetig auf ganz R. Und ist dort 2pi-periodisch, daher greift der Satz.   ─   mikn vor 5 Tagen, 22 Stunden

Okay vielen Dank.
In Bezug auf die Konvergenz, wie gehe ich dort jetzt vor?
Sag ich einfach: f~ ist stetig und FR(x)=f~(x) somit konvergiert FR? Denn ich muss ja eine Unterscheidung zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz anstellen

Zu der Aufgabe hieß es wörtlich: "Gegen welche Funktion konvergiert die FR punktweise? Ist die Konvergenz auf [-pi,pi] gleichmäßig?
  ─   viola333 vor 5 Tagen, 22 Stunden

Ja, so ist es: Für f~ gilt obiger Satz, also ist auf ganz R FR(t)=f~(t), d.h. die FR konvergiert gegen f~(t) für alle t, das ist also punktweise Konvergenz. Es gilt daher auch für alle $t\in [-\pi, \pi]: FR(t)=\tilde f(t) = f(t) = t^2$. Das ist alles punktweise.
Die Konvergenz auf $[-\pi, \pi]$ ist gleichmäßig, denn es gilt:
Satz. Ist f stückweise glatt und periodisch, so konvergiert die Fourierreihe von f auf jedem abgeschlossenen Intervall, auf dem f stetig ist, gleichmäßig gegen f.
Das ist für f~ erfüllt, und damit auf $[-\pi, \pi]$ auch für f.
  ─   mikn vor 5 Tagen, 17 Stunden

Okay also "nur noch" den obrigen Satz anwenden und damit wäre die Aufgabe gelöst. Wichtig wäre dabei das Intervall zu beachten, auf das f definiert ist.
Vielen Vielen Dank!!
  ─   viola333 vor 5 Tagen, 5 Stunden

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Damit eine Fourierreihe konvergiert, müssen die sogenannten Lipschitz-Bedingungen erfüllt sein.
Die Konvergenz ist dann aber nur "gleichmäßig". D.h. die Konvergenz liegt eventuell nicht für jeden Punkt des Periodizitätsintervalls vor, sondern nur das Integral über das Intervall für die Differenzfunktion aus F(x) und der Fourierreihe verschwindet. Im Allgemeinen liegt an der Unsteitgkeitsstellen (oft Sprünge) keine Konvergenz vor, sondern die Reihe konvergiert dort gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert.
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Und wie prüfe ich diese Konvergenz nach und kann ersehen gegen welche Funktion die Fourierreihe konvergiert?   ─   viola333 22.07.2021 um 12:02

Schau Dir die Lipschitzbedingungen an. Die Funktion muß z. B. stückweise steig sein. ich weiß nicht, wie Deine Funktion genau definiert ist und auf welchem Periodizitätsintervall.   ─   professorrs 22.07.2021 um 21:06

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