Fourier Transformation: Beweis des Ähnlichkeitssatzes

Aufrufe: 215     Aktiv: 07.05.2023 um 23:49

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Hallo!

Ich habe eine Frage zum Beweis des Ähnlichkeitssatzes der Fourier-Transformation:

\( F\{f(c \cdot t)\} = \int_{-\infty}^\infty f(ct) \cdot e^{-i\omega t} dt =\)

substituiere \(\tau = c \cdot t\) und  \(d\tau = c \cdot dt\)

\(= \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \cdot e^{-i\omega \frac{\tau}{c}} \cdot \frac{1}{c} d\tau = \frac{1}{\vert c\vert} \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \cdot e^{-i\frac{\omega}{c} \tau} d\tau =\)
\(=  \frac{1}{\vert c\vert} \cdot F\{\frac{\omega}{c} \} \)

Grundsätzlich kann ich dem Beweis gut folgen, aber eine Sache ist mir unklar: im ersten Schritt des Beweises wird das Fourier-Integral mit \(ct\) als Funktionswert gebildet. Warum wird aber im Exponenten e^{-i\omega t} das \(t\) ohne dem Faktor \(c\) belassen? Beim Beweis des Verschiebungssatzes geht man sehr ähnlich vor, und auch dort ist mir nicht klar, warum beim Fourier-Integral einer Funktion der Exponent nicht auch angepasst werden muss.

Ich hoffe, das kann mir jemand beantworten, danke!

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Es wird die FT einer Funktion berechnet (und nicht eines Funktionsterms, s.u.). Daher wird nur die Funktion angepasst, links wie rechts. Die Schreibweise ist die übliche, aber verwirrende.
Sauber wäre:
Die FT $F=\cal F(f)$ einer Funktion $f:R\longrightarrow R$ ist definiert als:
$F(j\omega):=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\, e^{-j\omega\, t}\,dt$
Also ist: $({\cal F(f)})(j\omega)=F(j\omega)$.
Die FT bildet also eine Funktion (Signal, Schwingung) ab auf eine andere Funktion.
Es wird also eine Funktion $f$ transformiert, und eben nicht ein Funktionsterm $f(t)$.
Das wird leider oft durch die vereinfachte Schreibweise verschleiert.
Der Unterschied zwischen Funktion und Funktionsterm wird oft vernachlässigt (weil viele meinen, ja, ist doch klar, was gemeint ist...).
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Okay vielen Dank schon mal!
Ich bin noch nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstehe: Das \(f(t)\) (links wie rechts im Integral) symbolisiert ganz normal eine Funktion \(f: R \rightarrow R\), ich multipliziere also nicht konkret einen Funktionswert im Integral mit \(c\) und auf der linken Seite, sondern ersetze sozusagen die ganze Funktion \(f(t)\) mit der Funktion \(f(ct)\).

Das \(t\) im Exponenten ist aber unabhängig davon, weil dieser für jede Fourier-Transformation gleich ist, und zwar \(e^{-j \omega t}\)?
  ─   hetg5 07.05.2023 um 23:40

Vermutlich meinst Du es richtig. Links steht aber (wenn alles sauber geschrieben ist), kein f(t), sondern nur f. Mach Dir unbedingt den Unterschied zwischen f und f(t) klar. Es gibt keine "Funktion f(t)" (wenn man es seriös macht), sondern nur Funktion f.
Was ist denn, wenn Deine Funktion f(u) heißen würde (unsauber geschrieben)? Dann bist Du ganz aufgeschmissen, weil Du kein t findest, aber für die rechte Seite eins brauchst.
Auf der rechten Seite ersetzt Du "den ganzen FunktionsTERM f(t)" entsprechend der geg. Funktion.
Der Unterschied Funktion-Funktionsterm ist nicht nur hier wichtig, sondern auch in allen folgenden Themen (Faltung, Impulsantwort, usw. - überall geht es um Funktionen f, nicht Funktionswerte f(t).
  ─   mikn 07.05.2023 um 23:49

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