Wenn man in Grad rechnen will, dann rechnet man (die meisten merken es eben nicht) mit abgeänderten Funktionen $\rm sind, cosd$ und $x$ in Grad, also ${\rm sind} (x)=\sin (x\frac{2\pi}{360})$. Dann ist also ${\rm sind}'(x)={\rm cosd} (x) \cdot\frac{2\pi}{360}$. Durch die Kettenregel kommt der Faktor dazu.
Du kannst also Deine letzte Zeile nehmen, mit den Gradzahlen, es fehlt aber ganz am Ende der Faktor $\frac{2\pi}{360}$, der ist, aber das ist Zufall, ungefähr $\sin 1^\circ=\rm sind\, 1$.
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Wenn man jetzt die Ableitungen bildet, entstehen neue Einheiten. Man kennt ja $f(x)$ in Metern, $x$ in Sek., dann Ableitung $f'(x)=$ Geschwindigkeit in $m/s$.
Hier: $F_a$ hat die Einheit $m^2/m$ (da nach $a$ abgeleitet wird, was Einheit $m$ hat), also $F_a$ hat die Einheit (gekürzt) $m$. Der Ausdruck $F_a\cdot da$ hat dann die Einheit $m^2$, ist auch gut so, denn es ist ja eine Flächenänderung.
$F_\gamma$ hat analog die Einheit $m^2/^\circ$, so dass $F_\gamma\cdot d\gamma$ wieder die Einheit $m^2$ hat (ist auch gut so....).
Das gleiche gilt, wenn man in $rad$ rechnet, nur ist wg der Kettenregel da noch ein (einheitenloser) Faktor dabei.
In der Praxis denkt man über die Einheiten nicht so nach und achtet nur auf die Zahlen. Es ist aber manchmal sinnvoll die Einheiten zu prüfen. Z.B. muss bei Gleichungen die Einheit auf der linken Seite gleich der auf der rechten Seite sein. Wenn das nicht der Fall ist, ist das ein Zeichen dafür, dass die Gleichung falsch ist. Kommt gar nicht so selten vor.
Sicherheitshalber noch: Die Frage mit den Einheiten hat mit der Frage des fehlenden Faktors nichts zu tun. Sind zwei getrennte Aspekte. ─ mikn 04.03.2023 um 23:00