Lineare Algebra

Aufrufe: 87     Aktiv: 3 Wochen her

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Kann mir jemand erklären, wie man auf die Lösungen hier kommt? Wir haben in der Vorlesung diese Aufgabe gerechnet, aber warum ist 1-cos^2 = sin ?? Und warum brauchen wir den cos = <u1, u2>/ ||u1|| * ||u2|| ??

Kann mir das jemand schrittweise erklären? Danke!

gefragt 3 Wochen her
anonym
Punkte: 98

 
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1 Antwort
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Also zunächst gilt der sogenannte trigonometrische Pythagoras: \(1=\sin^2(x)+\cos^2(x)\) und somit \(1-\cos^2(\varphi)=\sin^2(\varphi)\) und nicht \(\sin(\varphi)\) (da wurde glaube ich einfach nur das Quadrat vergessen)

Das ergibt dann nämlich:

\(||u_1 \times u_2||^2=||u_1||^2 \cdot ||u_2||^2 \cdot \sin^2(\varphi) \quad \Leftrightarrow \quad ||u_1\times u_1||=||u_1||\cdot ||u_2||\cdot \sin(\varphi)\)

Damit der letzte Schritt erstmal klar ist.

Und warum den Kosinus du willst das Skalarprodukt \(\langle u_1,u_2\rangle\) ersetzen und stellst die Formel \(\cos(\varphi)=\dfrac{\langle u_1,u_2\rangle}{||u_1||\cdot ||u_2||}\) nach \(\langle u_1,u_2\rangle\) um. (Mit Hilfe dieser Formel lässt sich der Winkel zwischen den Vektoren \(u_1\) und \(u_2\) berechnen, quasi der Kosinussatz) Setzt man nun die umgestellte Formel ein erhält man also:

\(||u_1 \times u_2|| =\langle u_1 \times u_2 ,u_1 \times u_2\rangle = \ldots =||u_1||^2\cdot ||u_2|| -\langle u_1,u_2\rangle^2 =||u_1||\cdot ||u_2|| -\big{(} ||u_1||^2 \cdot ||u_2|| \cdot \cos^2(\varphi)\big{)}\)

Dann noch \(||u_1||\cdot ||u_2||\) ausklammern und dann kommst du an die Stelle die ich zu Beginn erklärt hab (mit dem trigonometrischen Pythagoras).

 

Hoffe das hilft dir weiter den Beweis nachvollziehen zu können.

geantwortet 3 Wochen her
maqu
Punkte: 3.11K
 

Ja, so wie du´s hast, haben wirs auch in der Vorlesung behandelt. Aber verstanden hab´ ichs immer noch nicht.   ─   anonym 3 Wochen her

Was ist denn das genaue Problem? Was verstehst du nicht?   ─   cauchy 3 Wochen her

Aber wie du den trigonometrischen Pythagoras eingesetzt hast (Quadrat beim Sinus vergessen) und in den letzten Schritten auf dein Ergebnis gekommen bist hast du verstanden?

Angefangen hast du den Beweis damit, dass du die Definition für \(||u_1\times u_2||^2\) eingesetzt hast und (bis zur Lagranschen Identität) umformst. Dann möchtest du den Term \(\langle u_1,u_2\rangle\) ersetzen. Dafür nimmst du dir dann deine Formel für den Kosinus, setzt den Term ein und formst bis zum trig. Pythagoras um. Dann über die ganze Gleichung die Wurzel ziehen und schon folgt dein Behauptung welche du zeigen wolltest.
  ─   maqu 3 Wochen her

Nach der Ungleichung von Couchy Schwarz haben wir ja die Norm von u1 x u2 zum quadrat genommen, aber wie kommt das zu stande? Warum ist aus cos(phi)=... die untere gleichung (2. Zeile) entstanden?   ─   anonym 3 Wochen her

Ab cos(phi), also ab couchy schwarz Gleichung hab ich nichts mehr verstanden   ─   anonym 3 Wochen her

Mit dieser Formel berechnet man den Winkel zweier Vektoren. Sollte eigentlich aus der Schule bekannt sein und ebenso in der Vorlesung behandelt worden sein.   ─   cauchy 3 Wochen her

Es ist mir eben nicht bekannt, daher frage ich ja   ─   anonym 3 Wochen her

(1) Du hast die Gleichung nach \(\langle u_1,u_2\rangle\) umgestellt, indem du mal \(||u_1||^2\) und mal \(||u_2||^2\) gerechnet hast. Dann hast du \(\langle u_1,u_2\rangle =||u_1||\cdot ||u_2|| \cdot \cos(\varphi)\).
(2) Dies hast du in die Gleichung über \(\cos(\varphi)=....\) eingesetzt und erhälst die Gleichung unter \(\cos(\varphi)=....\). Dadurch das du in der oberen aber \(\langle u_1,u_2\rangle^2\) hast, quadriert sich der ganze Term den du für \(\langle u_1,u_2\rangle\) eingesetzt hast.
(3) Dann klammerst du aus beiden Termin \(||u_1||^2 \cdot ||u_2||^2\) aus. Übrig bleibt \(1-\cos^2(\varphi)\).
(4) Nun trig. Pythagoras und über die ganze Gleichung die Wurzel ziehen.
Nun klarer?
Ist dir die Kosinusformel denn bekannt. Das ist die gleiche die du auch aus der Vektorrechnung aus der Schule kennst.
  ─   maqu 3 Wochen her

Anscheinend ist sie ihm nicht bekannt. Schrieb er ja. Dann musst das das wohl einfach so "hinnehmen". Wenn das benutzt wird, dann wirds als bekannt vorausgesetzt.   ─   cauchy 3 Wochen her

Ok also wenn dir die Formel nichts sagt, dann schau nochmal ein paar Seiten im Skript zurück, da werdet ihr die sicher bereits behandelt haben, wenn sie für die Beweisführung eingesetzt wird. Vielleicht kommt dir die Formel aus der Schule bekannter vor. Für zwei Vektoren \(\vec{a},\vec{b}\) berechnet sich der eingeschlossene Winkel \(\alpha\) zwischen beiden Vektoren durch \(\cos(\alpha)=\dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\), wobei \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|\) das Skalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) beschreibt und \(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) jeweils die Beträge der Vektoren erklärt.   ─   maqu 3 Wochen her

Perfekt, jetzt hab´ichs verstanden. Danke vielmals @maqu !
Wir haben aber zum Schluss die Wurzel nicht gezogen. Kann man das so stehen lassen, wie wirs in der Vorlesung behandelt haben?
  ─   anonym 3 Wochen her

Immer gern :)
Und wegen dem letzten Schritt: Ok vielleicht habt ihr die Wurzel nicht gezogen aber aus der Gleichung
\(||u_1\times u_2||^2=||u_1||^2\cdot ||u_2||^2 \cdot \sin^2(\varphi)\)
folgert ihr dann
\(||u_1\times u_2||=||u_1||\cdot||u_2||\cdot \sin(\varphi)\)
Deswegen meinte ich immer bei deiner markierten Stelle muss ein \(\sin^2(\varphi)\) statt einem \(\sin(\varphi)\) stehen. Dann wird der nächste Schritt den du folgerst vielleicht auch klarer. ;)
  ─   maqu 3 Wochen her

Okay, perfekt. Alles verstanden.   ─   anonym 3 Wochen her

Ne du hast ja quasi \(1\cdot ||u_1||^2||u_2||^2 -||u_1||^2||u_2||^2 \cdot \cos(\varphi)\). Dadurch das der erste Term durch sich selbst geteilt wird bleibt also eine 1 übrig, von der du dann noch den Kosinus abziehen musst.   ─   maqu 3 Wochen her

Genau, du hast recht, im Nachhinein hab ichs doch gecheckt :D.   ─   anonym 3 Wochen her

@maqu, vielen vielen Dank! Du hast es super erklärt! Danke dafür.   ─   anonym 3 Wochen her

Super, ein Tipp noch von mir, schreib dir den Beweis für dich noch einmal sauber auf. Dadurch verinnerlichst du die einzelnen Schritte vielleicht noch einmal und kannst diese bei anderen Beweisen später besser nachvollziehen. Getreu dem Motto "Durch die Hand in den Verstand" :)   ─   maqu 3 Wochen her
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