Also zunächst gilt der sogenannte trigonometrische Pythagoras: \(1=\sin^2(x)+\cos^2(x)\) und somit \(1-\cos^2(\varphi)=\sin^2(\varphi)\) und nicht \(\sin(\varphi)\) (da wurde glaube ich einfach nur das Quadrat vergessen)
Das ergibt dann nämlich:
\(||u_1 \times u_2||^2=||u_1||^2 \cdot ||u_2||^2 \cdot \sin^2(\varphi) \quad \Leftrightarrow \quad ||u_1\times u_1||=||u_1||\cdot ||u_2||\cdot \sin(\varphi)\)
Damit der letzte Schritt erstmal klar ist.
Und warum den Kosinus du willst das Skalarprodukt \(\langle u_1,u_2\rangle\) ersetzen und stellst die Formel \(\cos(\varphi)=\dfrac{\langle u_1,u_2\rangle}{||u_1||\cdot ||u_2||}\) nach \(\langle u_1,u_2\rangle\) um. (Mit Hilfe dieser Formel lässt sich der Winkel zwischen den Vektoren \(u_1\) und \(u_2\) berechnen, quasi der Kosinussatz) Setzt man nun die umgestellte Formel ein erhält man also:
\(||u_1 \times u_2|| =\langle u_1 \times u_2 ,u_1 \times u_2\rangle = \ldots =||u_1||^2\cdot ||u_2|| -\langle u_1,u_2\rangle^2 =||u_1||\cdot ||u_2|| -\big{(} ||u_1||^2 \cdot ||u_2|| \cdot \cos^2(\varphi)\big{)}\)
Dann noch \(||u_1||\cdot ||u_2||\) ausklammern und dann kommst du an die Stelle die ich zu Beginn erklärt hab (mit dem trigonometrischen Pythagoras).
Hoffe das hilft dir weiter den Beweis nachvollziehen zu können.
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Angefangen hast du den Beweis damit, dass du die Definition für \(||u_1\times u_2||^2\) eingesetzt hast und (bis zur Lagranschen Identität) umformst. Dann möchtest du den Term \(\langle u_1,u_2\rangle\) ersetzen. Dafür nimmst du dir dann deine Formel für den Kosinus, setzt den Term ein und formst bis zum trig. Pythagoras um. Dann über die ganze Gleichung die Wurzel ziehen und schon folgt dein Behauptung welche du zeigen wolltest. ─ maqu 02.01.2021 um 15:45
(2) Dies hast du in die Gleichung über \(\cos(\varphi)=....\) eingesetzt und erhälst die Gleichung unter \(\cos(\varphi)=....\). Dadurch das du in der oberen aber \(\langle u_1,u_2\rangle^2\) hast, quadriert sich der ganze Term den du für \(\langle u_1,u_2\rangle\) eingesetzt hast.
(3) Dann klammerst du aus beiden Termin \(||u_1||^2 \cdot ||u_2||^2\) aus. Übrig bleibt \(1-\cos^2(\varphi)\).
(4) Nun trig. Pythagoras und über die ganze Gleichung die Wurzel ziehen.
Nun klarer?
Ist dir die Kosinusformel denn bekannt. Das ist die gleiche die du auch aus der Vektorrechnung aus der Schule kennst. ─ maqu 02.01.2021 um 16:08
Wir haben aber zum Schluss die Wurzel nicht gezogen. Kann man das so stehen lassen, wie wirs in der Vorlesung behandelt haben? ─ anonym 02.01.2021 um 16:42
Und wegen dem letzten Schritt: Ok vielleicht habt ihr die Wurzel nicht gezogen aber aus der Gleichung
\(||u_1\times u_2||^2=||u_1||^2\cdot ||u_2||^2 \cdot \sin^2(\varphi)\)
folgert ihr dann
\(||u_1\times u_2||=||u_1||\cdot||u_2||\cdot \sin(\varphi)\)
Deswegen meinte ich immer bei deiner markierten Stelle muss ein \(\sin^2(\varphi)\) statt einem \(\sin(\varphi)\) stehen. Dann wird der nächste Schritt den du folgerst vielleicht auch klarer. ;) ─ maqu 02.01.2021 um 16:49