Hallo,

\( \alpha =1 \) ist hier nicht die einzige Lösung. Aber gucken wir uns erstmal das Integral an. 

Du kannst jetzt hier eine Fallunterscheidung. Je nach Wahl von \( \alpha \) erhälst du hier andere Grenzwerte. Betrachten wir beispielsweise mal \( \alpha = 1 \). Dann hätten wir am Ende dort

$$ \left[ e^{-x^{-1}} \right]_0^\infty = \left[ e^{- \frac 1 x } \right]_0^\infty = e^{0} - e^{- \infty} = 1 -  0$$

Eigentlich musst du bei der Substitutionsmethode auch die Grenzen des Integrals substituieren. Aber da du am Ende zurücksubstituierst, führt es bei dir zu keinem Fehler. Du kannst nun prinzipiell an 2 Stellen die Fallunterscheidung ansetzen. Beide male geht es darum, was passiert wenn wir die Grenzen einsetzen. 

Wenn wir so vorgehen wie bei dir, wäre das am Ende der Fall. Du hast die Stammfunktion 

$$ F(x) = e^{-x^{-\alpha}} $$

Jetzt musst du dir überlegen, für welche Werte von \( \alpha \) wir unterschiedliche Werte beim einsetzen der Grenzen erhalten. Was passiert zum Beispiel bei einer negativen Zahl wie \( \alpha = -1 \)?

Die andere Möglichkeit wäre, die Fallunterscheidung bereits während der Substitution durchzuführen. Wie bereits erwähnt, müsstest du bei der Substitution eigentlich die Grenzen auch substituieren. Wir haben

$$ u = -x^{-\alpha} $$

Die Integrationsgrenzen sind \( 0 \) und \( \infty \). Also berechnen wir

$$ \lim\limits_{x \to 0} u(x) = \lim\limits_{x\to 0} -x^{-\alpha} \to \left\{ \begin{matrix} 0, & \text{für} \ \alpha < 0 \\ -1 , & \text{für} \ \alpha = 0 \\ - \infty , & \text{für} \ \alpha >0 \end{matrix} \right. $$

Ist das verständlich? Was passiert bei der Grenzwertbetrachtung gegen \( \infty\)? 
Du kannst dann für die unterschiedlichen Fälle die Integrale berechnen und kommst so auf die Lösung.

Grüße Christian