Ja du musst hier ein bisschen Fälle abarbeiten, etwa so: Sei \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) und \(\varepsilon =\frac 12 |f(x)|\) und \(\delta>0\) beliebig. Aus topologischen Gründen (es gibt ein Wort, wenn mir einfällt ich schreibe), ist \(\mathbb{Q} \cap B_{\delta}(x)\not =\emptyset\), sei also \(y \in \mathbb{Q} \cap B_{\delta}(x)\), dann ist \(|f(x)-f(y)|=|f(x)|>\varepsilon \).  Probier einfach mal ein bisschen aus, ich helfe dir gerne weiter

Meiner Meinung nach ist es einfacher, mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit zu arbeiten.
Unterscheide zwei Fälle:
$x\in \mathbb{Q}$ und $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$
und benutze, dass sowohl $\mathbb{Q}$ als auch $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ dicht in $\mathbb{R}$ liegen, d.h. jede reelle Zahl kann mit Folgen aus $\mathbb{Q}$ und mit Folgen aus $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ angenähert werden.
Mit Differenzierbarkeit beschäftigt man sich erst nach der Stetigkeit.