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Die rechte Seite deiner Gleichungen ab der drittletzten Gleichung ist falsch. Im Nenner des Bruches in der Summe müsste immer noch \(n+1+k\) stehen, da ist das +1 einfach verschwunden. Die linke Seite hast du aber richtig vereinfacht, da können wir jetzt weiterrechnen
\begin{align*}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}&=\sum_{k=1}^n\frac1{(n+1)+(k-1)}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\&=\frac1{n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{(n+1)+n}+\frac1{(n+1)+n+1}\\&=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{(n+1)+k}\end{align*} was zu zeigen war.
\begin{align*}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}&=\sum_{k=1}^n\frac1{(n+1)+(k-1)}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\&=\frac1{n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{(n+1)+n}+\frac1{(n+1)+n+1}\\&=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{(n+1)+k}\end{align*} was zu zeigen war.
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stal
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