Vollständige Induktion Hilfe bei Gleichung

Aufrufe: 47     Aktiv: 24.04.2021 um 16:12

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Hallo Ich habe Probleme folgendes mittels Vollständiger Induktion zu Beweisen:

\( \sum_{k=1}^2n (-1)^{k+1} \frac{1}{k}= \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+k} \text{ für n element N  } \ge 1 \)

Die Vorraussetzung wurde bestätigt.

Behauptung ist:

\( \sum_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1}  \frac{1}{k}= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{(n+1)+k}\) 

oder:

\( \sum_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1}  \frac{1}{k}  \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{(n+1) +(n+1)}\) 

Induktionsschritt:
Ich habe das Summenzeichen aufgelöst und die IV eingesetzt

\( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} + (-1)^{2n+2} \frac{1}{2n+1} + (-1)^{2n+3}  \frac{1}{2n+2}= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{(n+1) +(n+1)}\)

Vereinfacht ist das dann:

\( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} + \frac{1}{2n+1} -  \frac{1}{2n+2}= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{(n+1) +(n+1)}\)

Weiter komme ich leider nicht. Ich muss irgendendetwas falsch gemacht haben weil ich nicht richtig auflösen kann.
Ich würde mich über hilfe sehr freuen.
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Für \(n=1\) ist schon \(\sum_{k=1}^{2\cdot1}(-1)^{k+1}\frac1k=1-\frac12=\frac12\neq\frac32=1+\frac12=\sum_{k=0}^1\frac1{1+k}\). Hast du die Aufgabe falsch abgeschrieben oder so? Eine falsche Aussage kann man natürlich nicht beweisen.   ─   stal 24.04.2021 um 15:27

Oh ja k beginnt bei beiden Summen mit 1   ─   user976149 24.04.2021 um 16:01

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1 Antwort
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Die rechte Seite deiner Gleichungen ab der drittletzten Gleichung ist falsch. Im Nenner des Bruches in der Summe müsste immer noch \(n+1+k\) stehen, da ist das +1 einfach verschwunden. Die linke Seite hast du aber richtig vereinfacht, da können wir jetzt weiterrechnen
 \begin{align*}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}&=\sum_{k=1}^n\frac1{(n+1)+(k-1)}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\&=\frac1{n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(n+1)+k}+\frac1{(n+1)+n}+\frac1{(n+1)+n+1}\\&=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{(n+1)+k}\end{align*} was zu zeigen war.
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