Ableitung Skalarprodukt

Aufrufe: 360     Aktiv: 04.12.2022 um 16:20
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Hey, 

ich versuche folgende Gleichheit zu verstehen. Ich schreibe mal den gesammten Anfang des Beweises auf. Mir geht es jedoch nur um folgende Gleichheit:

$$ \left \langle \frac{de_{1}}{dt},e_2 \right \rangle  = \langle (e_1)_u,e_2 \rangle \frac{du}{dt}+ \langle(e_1)_v,e_2 \rangle \frac{dv}{dt}.$$

Anfang des Beweises:

Es seien $e_1=x_{u}/\sqrt{E}$, $e_2=x_{v}/\sqrt{G}$ die Einheitsvektoren tangential an den Koordinatenkurven.
Es gilt $e_1 \times e_2=N$. Mit dem Lemma 2.5 folgt, dass 
 
 
  $$  \left [ \frac{Dw}{dt} \right]= \left [ \frac{De_{1}}{dt} \right ]+ \frac{d \varphi}{dt}, $$

wobei $e_{1}(t)=e_{1}(u(t),v(t))$ das Vektorfeld $e_1$ eingeschränkt auf die Kurve $x(u(t),v(t))$ ist. Den algebraischen Wert der kovarianten Ableitung von $e_1$ können wir nun mit Hilfe der Definition in 2.3 weiter vereinfachen. Es gilt 
 
$$\left [ \frac{De_{1}}{dt} \right ]= \left \langle \frac{de_{1}}{dt},N \times e_1 \right \rangle  = \left \langle \frac{de_{1}}{dt},e_2 \right \rangle  = \langle (e_1)_u,e_2 \rangle \frac{du}{dt}+ \langle(e_1)_v,e_2 \rangle \frac{dv}{dt}.$$

Meine Frage: Ist es einfach die Anwendung der Produkt und Kettenregel?

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2 Antworten
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Das ist die normale Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen:

Allgemein für $f(u(t),v(t)): f'(t)=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot u'(t) + \frac{\partial f}{\partial v}\cdot v'(t)$
und dann alles skalar mit $e_2$ multipliziert und Faktoren rausgezogen. Achte genau darauf, was ist Vektor, was ist Zahl.
Und sicherheitshalber: Das Skalarprodukt wird hier gar nicht abgeleitet.

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Oh, ich danke dir! Das macht es mir deutlich verständlicher
   ─   walterfrosch 04.12.2022 um 14:25
Ich danke dir für den Hinweis!   ─   walterfrosch 04.12.2022 um 16:20

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Es ist die (mehrdim.) Kettenregel. Es ist $\frac{\mathrm{d}e_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial e_1}{\partial u}u'+\frac{\partial e_1}{\partial v}v'$.
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