Integration Substitution?

Erste Frage Aufrufe: 1026     Aktiv: 05.10.2019 um 23:12

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Hallo ihr lieben,

Ich habe eine Aufgabe (siehe Foto) bei dir ich das Integral berechnen muss. Dabei ist der Hinweis gegeben, dass ich die Substitutionsregel benutzen soll, also hab ich probiert x^2=t zu substituieren, da dies ja in der verketteten/inneren Funktion steht. Wenn ich mir jetzt den Faktor vor dem e^(ax^2) anschaue (also den Faktor 2x^3), dann fällt auf, dass dieser sich aus t und t' zusammen setzt.

Das t' ziehe ich raus und passe die Grenzen meines Integrals an. Jetzt habe ich darstehen 

\(\int_0^4 t*e^{a*t}\)

Das ist aber leider immernoch nicht in einer Form in der ich das Integrieren kann.

Ich hab drüber nachgedacht dies Partiell zu Integrieren, weiß aber nicht wirklich wie mir das weiterhelfen soll. 

Freu mich über jeden Kommentar und hoffe jemand kann mir helfen :D

Liebe Grüße, Nick

 

gefragt

Student, Punkte: 15

 

Das Foto sehe ich nicht. Wie lautet die eigentliche Funktion?
Außerdem das Differential am Ende nicht vergessen.
  ─   maccheroni_konstante 05.10.2019 um 22:43


Ich hab wohl vergessen das Bild anzuhängen, aber jetzt müsstest du es sehen können.Und ja ich habs Differential bei mir aufm Blatt stehen, aber man kann nicht oft genug daran erinnert werden.
  ─   n1ck 05.10.2019 um 22:45

Ja, jetzt sieht man es.   ─   maccheroni_konstante 05.10.2019 um 22:52
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Wenn du die Form \(\displaystyle\int t\cdot e^{\alpha t}\, dt\) erreicht hast, könntest du jetzt partiell integrieren.

Dann erhältst du
\(\displaystyle\int t\cdot e^{\alpha t}\, dt \\
= \dfrac{te^{\alpha t}}{\alpha}-\displaystyle\int \dfrac{e^{\alpha t}}{\alpha}\, dt\\
=\dfrac{te^{\alpha t}}{\alpha}-\dfrac{1}{\alpha}\displaystyle\int e^{\alpha t}\, dt\\
= \dfrac{te^{\alpha t}}{\alpha}-\dfrac{1}{\alpha} \cdot \dfrac{e^{\alpha t}}{\alpha}+C \\
= \dfrac{e^{\alpha t}(\alpha t -1)}{\alpha ^2} +C\\
\Longrightarrow \left [ \dfrac{e^{\alpha t}(\alpha t -1)}{\alpha ^2} \right ] _{t=0}^4 = \left ( \dfrac{e^{4 \alpha} (4 \alpha - 1)}{\alpha^2} \right ) - \left ( -\dfrac{1}{\alpha ^2} \right ) = \dfrac{e^{4\alpha}(4a-1)+1}{\alpha ^2}\)

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Vielen Dank für die Lösung, also wäre partielle Integration doch der richtige Weg gewesen. Werde mich morgen nochmal mit der Aufgabe auseinandersetzen. Aber deine Lösung sieht soweit sehr anschaulich aus.
  ─   n1ck 05.10.2019 um 23:11

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