Statistik Dichte, Erwartungswert

Erste Frage Aufrufe: 458     Aktiv: 23.01.2022 um 20:49
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Hallo zusammen,

ich hoffe ihr könnt mir bei diesen Aufgaben weiterhelfen:

Aufgabe 1: Sei X eine stetige Zufallsvariable auf Ω = [-1, 1] mit einer Dichte gegeben durch:


Hierbei sind a und b Parameter der Dichtefunktion.

1. Welche Aussagen sind richtig?
a) b = 1/2 und a element der reelen Zahlen
b) b = 1/2 und a >= 1/2
c) a, b element der reelen Zahlen
d) b = 1/2 und |a| <= 1/2
e) 2a + 2b = 1

2. (Fortsetzung der Aufgabe):
Welchen Wert muss a haben, damit P(X < 0) = 1/4 gilt?

Aufgabe 2:
Seien X und Y gleichverteilt auf [0,1] und unabhängig. Bestimmen Sie den Erwartungswert von XY.


Mein Lösungsansatz zu beiden Aufgaben ist relativ bescheiden.....
Zu Aufgabe 1.1: Die Dichte hat ja die Eigenschaften, dass sie an keinem Wert kleiner als 0 ist und ihr Integral 1 ergeben muss. Sind also a), c) und e) richtig?

Zu Aufgabe 1.2: Hier muss man doch das Integral der Dichtefunktion, also hier von ax + b von -1 bis 1 berechnen oder? Nur irgendwie klappt das auch nicht so ganz :(

Zu Aufgabe 2: Hier habe ich leider noch gar keinen Lösungsansatz.


Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen! :)

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1 Antwort
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Aufgabe 1: Die Aussagen kannst du ja selbst überprüfen, indem du die Eigenschaften nachweist. Dann fällt schnell auf, dass sie nicht stimmen. 

Wie ist denn $P(X<k)$ definiert? 

Aufgabe 2:  Wenn zwei Zufallsvariablen unabhängig sind, gibt es eine einfache Rechenregel für den Erwartungswert des Produkts. ;)
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Erstmal danke für deine Antwort!!

Zu Afg 1.1:
Also z.B. für a): b = 1/2 und a element der reelen Zahlen
ax + b
Hier nun b = 1/2 einsetzen und für a irgendeine reelle Zahl und dann für x einen Wert zwischen [0,1] aus der Grundmende und gucken ob das Ergebnis dann zwischen 1 und -1 ist?

Afg 1.2: P(X < k) ist doch im Abschnitt ax + b definiert oder?


Afg 2: E(X * Y) = E(X) * E(Y) meinst du diese?
Dann kenne ich noch die Formel des Erwartungswerts:
E(X) = mü = Summe(i=1 bis n) x_i * P(X = x_i).

Sry weiter komm ich gerade nicht :(   ─   derbob 22.01.2022 um 13:47
Ich weiß, ich tue mich wirklich schwer mit dem Ganzen... :(

Zu 1.1: Die Dichte berechnet sich ja hier aus dem Integral in den Grenzen von -1 bis 1.
Also bilde ich die Stammfunktion: 1/2ax² + bx.
Diese muss nun 1 ergeben, oder?
Irgendwie komm ich da aber nicht weiter :(

Zu 1.2
Ist der Wert für a gesucht, damit die Wahrhscheinlichkeit der Realisierung von X < 0 = 1/4 ergibt, hab ich das so richtig verstanden?
Hier kommt mir nun die Verteilungsfunktion in den Sinn, aber irgendwie stocher ich da immer noch im Nebel:
F(x) = P(X < 0) = IntegralVon -∞ bis x f(x) wobei f(x) eben ax + b ist... Kommt mir immer noch falsch vor.
  ─   derbob 22.01.2022 um 15:37
Ich kapituliere.. :(
Ich weiß zwar im Groben was eine Zufallsvariable, Dichte oder Erwartungswert ist, aber bekomme das hier einfach alles nicht unter einen Hut...   ─   derbob 22.01.2022 um 16:40
Das hatte ich versucht und hatte dafür b=0,5 herausbekommen. Nur was ist dann mit a? Ist das dann beliebig? Oder ist das eh falsch?
Wenn ich b dann in die Dichte einsetze und nach a auflöse erhalte ich 1/2x....

Zu 1.2 Mein letzer Ansatz sah dann so aus:
Ich hatte dann b in die Dichte eingesetzt und dann die Verteilungsfunktion berechnet: F(x) = 1/2ax² + 1/2x - 1/2a + 1/2


kA... irgendwie werf ich da alles nur noch im Kopf wild umher und bin nu einfach nur noch maximal verwirrt...   ─   derbob 22.01.2022 um 23:20
Das Integral muss 1 ergeben und der Funktionswert der Dichte darf nicht negativ sein. Wenn ich dann also b = 1/2 einsetze muss a >= 1/2 sein.
Und damit ist a eben auch ein Element der reelen Zahlen. Also sind a) b) und c) richtig.

Für Aufgabe 1.2 hab ich nun die Dichtefunktion ax + 1/2 von -1 bis 0 integeriert.
Dabei kam dann heraus: -1/2a + 1/2.
Nun war ja das a gesucht, damit die Wahrscheinlichkeit/Fläche für X < 0 = 1/4 ergibt.

Dafür hab ich jetzt die gesamte Fläche also 1 - dem eben berechneten Integral = 1/4 ausgerechnet. Dabei kam nun a = 0,5 heraus.

Wenn das alles nu immer noch nicht stimmt, dann bitte ich um Auflösung.... :D




   ─   derbob 23.01.2022 um 17:06
Aber wenn a=1 und x = -0,5 dann ergäbe die Dichte doch 0:
1*-0,5 + 0,5 = 0.
Und für x <= -0,5 wäre die Dichte immer positiv? kA irgendwie hab ich bei der Aufgabe ein gewaltiges Brett vorm Kopp...
Und "Element von" bedeutet doch nur, dass eine Zahl EIN Element einer Menge ist.


Zu 1.2. Ist mir eben auch noch aufgefallen... Meine Rechnung war mal wieder unnötig kompliziert, aber wenigstens hab ichs jetzt endlich gerafft ^^   ─   derbob 23.01.2022 um 18:42
Also ist nun überhaupt nichts richtig???   ─   derbob 23.01.2022 um 19:25
Ahhh ja okay also dann d).
Weil a ja immer positiv ist. Und für a = 0,4 und x = -1 das ganze auch aufgeht...   ─   derbob 23.01.2022 um 19:52
Muaha... :( Ich bin ein spätchecker...
Mit Aufgabe 2 möcht ich mich nu eigenltich lieber gar nich erst auseinandersetzen... :D


Aufgabe 2:
Seien X und Y gleichverteilt auf [0,1] und unabhängig. Bestimmen Sie den Erwartungswert von XY.

Ich brauch dafür also diese Formel: E(X * Y) = E(X) * E(Y)

Nun muss ich also nur noch herausfinden, wie man den Erwartungswert der beiden Zufallsvariablen berechnet. Da die stetig sind, kommt dafür dann ja eig nur diese Formel in betracht: E(X) = mü = Integral(von 0 bis 1)x * f(x).

Für die brauch ich aber eine Dichte wenn ich das richtig sehe. Und die hab ich hier nicht gegeben... Urrrgh, es geht schon wieder los..... :(

  ─   derbob 23.01.2022 um 20:13
Okay.. Dann also mit
E(X) = (a + b) / 2
?

Also für X = 1/2
Und für Y = 1/2

Ergibt: 1/4.

So einfach kanns aber wohl nich sein... oder doch?   ─   derbob 23.01.2022 um 20:37
Na dann hab ich ja nochmal Glück gehabt..... :D Dann mal vielen Dank für deine geduld :)   ─   derbob 23.01.2022 um 20:49

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.