GgT von Polynomen

Erste Frage Aufrufe: 102     Aktiv: 07.03.2024 um 21:21

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Sei m ∈ Q[X] \ Q und R = Q[X]/mQ[X].
a) Zeigen Sie, dass für jedes fixe p ∈ Q[X] die Funktion Mp : R → R mit Mp([q]∼) := [pq]∼ eine lineare Abbildung ist.
b) Zeigen Sie: für alle p ∈ Q[X] gilt ggT(p, m) = 1 ⇐⇒ ker Mp = {[0]∼}.
c) Geben Sie für die spezielle Wahl m = X3 − X + 1 und p = X2 + 3X + 2 die Abbildungsmatrix von Mp bezüglich der geordneten Basis ([1]∼, [X]∼, [X2]∼) von R an.

EDIT vom 07.03.2024 um 17:39:

Sei m ∈ Q[X] \ Q und R = Q[X]/mQ[X].
a) Zeigen Sie, dass für jedes fixe p ∈ Q[X] die Funktion Mp : R → R mit Mp([q]∼) := [pq]∼ eine lineare Abbildung ist.
b) Zeigen Sie: für alle p ∈ Q[X] gilt ggT(p, m) = 1 ⇐⇒ ker Mp = {[0]∼}.
c) Geben Sie für die spezielle Wahl m = X3 − X + 1 und p = X2 + 3X + 2 die Abbildungsmatrix von Mp bezüglich der geordneten Basis ([1]∼, [X]∼, [X2]∼) von R an.


Aufgabe a) habe ich schon fast fertig, ich weiß nur nicht, wie ich die Abgeschlossenheit gegenüber der Musltiplikation beweisen kann.

Bei b) habe ich keine Ahnung. Ich weiß, dass der Kern alle Elemente sind, die auf 0 abbilden, aber ich weiß auch nicht, welche es wären, wenn der ggT nicht 1 wäre. Ich finde es immer schwierig, mir Quotientenräume vorzustellen.

Und bei c): Die angegebene geordnete Basis bezieht sich auf die Zeilen, oder? Und bei den Spalten brauche ich die Funktionswerte der Basis, stimmt das? Kann ich als Basis {X, X^2} verwenden, oder brauche ich mehr oder andere Werte?

Ich wäre um Hilfe sehr dankbar!
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  ─   mikn 07.03.2024 um 17:01
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Algebra ist nicht wirklich mein Gebiet (da gibt es Helfer, die sich besser auskennen), aber hier ein paar Ideen:
a) Was für eine "Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation"? Man muss zeigen, dass $M(\lambda [q])= \lambda M([q])$, das scheint mir eine reine Hinschreibübung
b) Zu $\Longrightarrow$: Benutze, dass es im Falle $ggT(p,m)=1$ Faktoren $a,b$ gibt mit $a[p]+b[q]=1$ (Eukl. Alg.), dann steht das gewünschte schnell da.
c) Wie immer, stehen in den Spalten der Matrix einer lin. Abb. die Bilder der Basisvektoren, zerlegt in eben dieser Basis.
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