Zum rechnerischen Nachweis von lokalen und globalen Extrempunkten gibt es hier ein gutes Video:

Bei dieser Funktion hast du bei x = 1,333... ein lokales Minimum. Wenn du aber nur den DEF Bereich sagen wir von 0<x < 3 betrachtest , wäre es ein globales Minimum . 
alternativ betrachte f (x) = - x ^2 ... 

Man unterscheidet in der Regel zwischen lokalen und globalen Extrema, wenn man einen beschränkten Definitionsbereich hat, etwa das Intervall \([0;10]\). Dann muss man nämlich immer auch die Randwerte überprüfen, da sie höher oder niedriger als die berechneten (lokalen) Extrema sein können. Das, was du berechnest sind erstmal immer nur lokale Extrema. Die globalen Extrema bekommt man dann, indem man die Funktionswerte vergleicht und davon eben den größeren oder kleineren wählt. 

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^2\) hat in \(x=0\) ein lokales Minimum. Dieses Minimum ist gleichzeitig auch global, da es keinen kleineren Wert gibt, denn \(x^2\geq0\) für alle \(x\). Die Funktion hat kein Maximum, da sie unendlich nach oben geht. 

Schränke in den Definitionsbereich ein, etwa auf \([-2;2]\), so "endet" meine Funktion an diesen Stellen und nimmt dort jeweils ein Maximum an, diese sind global, weil dort die größten Funktionswerte im gegebenen Intervall sind.

Ich hoffe, das konnte ein wenig Licht ins Dunkel bringen.