Ableiten mußt Du nach der Produktregel. Für x gegen Unendlich geht die Funktion gegen null. Merke: Die e-Funktion "gewinnt" gegen jede Potenz. Da die Exponentialfunktion nie null wird, sind die Nullstellen die Nullstellen der Klammer (einfache quadratische Gleichung). Auf meinem youTube Kanal findest Du zu allem entsprechende Videos!

Für die Nullstellen bestimme g(x) = 0. Schaue dir das Problem faktorweise an. Die e-Funktion wird nie 0, bleibt die Klammer. Mit der abc-Formel (oder pq-Formel) findet man schnell heraus, dass es keine reellen Nullstellen gibt.

Für die Ableitung die Produkt- und Kettenregel nutzen.

\(g'(x) = (\frac14 x^2 + x + 2)\cdot (-0,5)e^{-0,5x} + (\frac12x + 1)\cdot e^{-0,5x}\)

Das nun noch zusammenfassen/vereinfachen (bspw die e-Funktion ausklammern)

Das Verhalten gegen unendlich ist schnell geklärt:

Für x -> unendlich geht die Funktion gegen 0, da die e-Funktion stärker ist als das Polynom und gegen 0 wird.

Für x-> -unendlich geht die Funktion gegen unendlich, da die e-Funktion stärker ist als das Polynom und gegen unendlich geht. Geht gegen +unendlich, weil x^2 positiv ist.