Warum die orthogonale Gerade?

Aufrufe: 158     Aktiv: 22.04.2022 um 18:22

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Aufgabe:

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Ich habe mittels HNF folgende Geradengleichung (g) erhalten: 0 = x + 7y -5 (ist korrekt)
Gemäss den Lösungen sind die Punkte auf der orthogonalen Gerade zu g ebenfalls gleich weit vom Punkt entfernt. Diese Idee verstehe ich. 

Die orthogonale Gerade zu g, nennen wir sie h ist: 0= -7x +y - 5 (von Lösungen)

Frage: Wie komme ich auf die Geradengleichung von h? Ich verstehe, dass die Steigung der orthogonalen Gerade den negativen Kehrwert hat, welcher ich hier mit (-7x) nachvollziehen kann. Wie komme ich jedoch auf +y und +5? 

Vielen Dank im Voraus. :)
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Vektorgeometrie scheint nicht so beliebt zu sein... :D   ─   nas17 20.04.2022 um 20:52
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1 Antwort
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Entweder: Man findet einen Vektor, der orthogonal zum Normalenvektor der Geraden $g$ ist. Dann ist das der Normalenvektor von $h$. 

Oder: Man stellt die Gleichungen um, so dass $y=\dots$, dann sieht man auch, wie man auf $+y$ kommt.

Das Absolutglied erhält man dann entsprechend, wenn man einen Punkt der Geraden in die Gleichung einsetzt. Das Absolutiglied $c$ wird dann so bestimmt, dass die Gleichung erfüllt ist.
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Meinst du nicht Richtungsvektor anstatt Normalenvektor? Der Normalenvektor ist doch bereits orthogonal?
Wenn ich nun die erste Gerade g umstelle erhalte ich: y= -1/7x + 5/7
Nun erhalte ich für h y=7x +- b
Um b (absolutes Glied) zu erhalten, müsste ich ja einen Punkt auf der Gerade einsetzen. Komischerweise wurde im Lösungsweg kein Punkt eingesetzt sondern einfach die Gerade g umgeformt zur Geraden h. Interessant ist, dass die Koeffizienten von x und y (7 und 1) tauschen und das Vorzeichen bei einem sich ändert, genau wie beim negativen Kehrwert, um die orthogonale zu erhalten.
  ─   nas17 20.04.2022 um 21:31

Edit: Zur Überprüfung habe irgendeine Gerade in Geogebra eingegeben. Bsp: 0=2x+3y-4
Die orthogonale Gerade ist: 0=-3x+2y-4 --> Wieder haben die Koeffizienten getauscht mit einem Vorzeichenwechsel und das absolute Glied blieb erhalten.
Wie muss ich mir das vorstellen? Brauche ich demnach gar keinen weiteren Punkt von der Geraden?
  ─   nas17 20.04.2022 um 21:34

Nein, meine ich nicht. Das die Zahlen sich ändern und das Vorzeichen sich bei einer Zahl ändert liegt ja gerade daran, dass die beiden Normalenvektoren der Geraden orthogonal sein sollen. Nimm dir einen Vektor und schreibe dazu einen orthogonalen Vektor auf. Das funktioniert immer auf diese Weise. Es ist richtig, dass NV und RV EINER Geraden orthogonal sind. Es geht hier aber um die NV BEIDER Geraden, die dann logischerweise auch orthogonal sein müssen.

Es gibt zu einer Geraden unendlich viele orthogonale Geraden. Es wäre also auch die Gerade $0=-3x+2y+25$ eine orthogonale Gerade, nur eben durch einen anderen Punkt.
  ─   cauchy 20.04.2022 um 21:49

Bei der Gerade g: y= -1/7x + 5/7 in dieser Aufgabe habe ich in der Parameterform (0,5/7) + r * (7,-1) erhalten. Dementsprechend wäre der NV der Geraden g (1,7) ? Damit Skalarprodukt von RV und NV 0 ergibt?
Bei der Ebenengleichung in Koordinatenform kann ich ja direkt den NV ablesen. Das ist hier nicht der Fall? Oder ich habe falsch gerechnet, natürlich auch möglich :)

Genau bei dieser Aufgabe darf die orthogonale Gerade h nicht irgendeine orthogonale sein. Aus diesem Grund bin ich verwirrt, dass in der Lösung so kein Punkt eingesetzt wurde...
  ─   nas17 20.04.2022 um 22:07

Bei einer Geraden funktioniert das mit dem NV genauso wie bei Ebenen.

Mach mal eine Skizze. Dann sollte alles klar werden. Dann wird auch klar, um welchen Punkt es bei den beiden Geraden geht. ;)
  ─   cauchy 20.04.2022 um 23:44

Habe nun die Geraden in einer Skizze dargestellt. Ich habe erkannt, dass man die NV aus der Geradengleichung ablesen kann, wenn die Gleichung eine gewisse "Form" (Internet sagt Normalvektorform) hat (bin noch nicht ganz sicher, wann genau?). Einleuchtend ist, dass sich die Zahlen ändern, da der NV der Geraden g auch orthogonal zum NV der Geraden g ist.

Zum Punkt: Das Einzeichnen der beiden Geraden in der Aufgabenstellung hat die Sache erleichtert. Habe den Schnittpunkt der beiden Geraden ausgerechnet und dann in die Gerade h eingesetzt, um mein absolutes Glied (-5) zu erhalten. Hat geklappt. :)

Eine kleine Frage bleibt offen: Wie weiss ich, dass die Gerade g: 0 = x + 7y -5 in der "Normalvektorform" ist?
  ─   nas17 21.04.2022 um 10:35

Gemeint ist die Koordinatenform. Ähnlich wie bei Ebenen.   ─   cauchy 22.04.2022 um 04:01

Achso, verstehe. Das war mir neu, da wir die Geraden in der Vektorgeometrie nur im Raum gebraucht haben, wo es ja keine Koordinatenform der Geraden gibt.

Habe nun folgendes durch eintragen ins Koordinatensystem festgestellt: Jegliche Geradengleichungen kann ich einfach umformen, damit ich den Normalenvektor ablesen kann, in dem ich x und y auf eine Seite bringe?

Ist so korrekt, oder? Besten Dank für die Hilfe cauchy! :)
  ─   nas17 22.04.2022 um 11:05

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Ja, wie gesagt, wie bei Ebenen auch.   ─   cauchy 22.04.2022 um 18:22

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