Wie löst man diese Aufgabe? (Vorschüssige Rente)

Aufrufe: 1058     Aktiv: 11.12.2020 um 17:34
Jetzt Frage stellen
0

Der Sparer Alfons Sparsam zahlt 10 Jahre lang jeweils zum Jahresende 2.500 € in einen Sparvertrag ein.

(1) Wie lange kann er den gleichen Betrag jeweils wieder am Jahresende abheben, wenn dieser Sparvertrag mit 4,5 % verzinst wird? Die erste Abhebung erfolgt ein Jahr nach der letzten Einzahlung.

(2) Welche vorschüssigen monatlichen Einzahlungen hätte Bertha Sparsam leisten müssen, um am Ende des Jahres ebenfalls den Jahresbetrag von 2.500 € bei 4,5 % Zinsen zu erreichen?

(3) Cornelius Sparsam baut ein Guthaben zu gleichen Konditionen wie Alfons auf (also 2.500 € jährlich nachschüssig zu 4,5 % Zinsen); er spart aber 16 Jahre lang.Welchen Betrag darf Cornelius am Ende des 16. Jahres abheben, damit er anschließend noch 20 Jahre lang zum Jahresende jeweils 2.500 € abheben kann? Die Verzinsung beträgt weiterhin 4,5 %.

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1

Eine ähnliche Aufgabe habe ich dir schon mal vorgerechnet und gehofft, dass du den Lösungsweg verstanden hast. 
nun denn,  jetzt bist du dran: 1.Tipp zum Berechnen von (1). Wie hoch ist denn das Guthaben auf dem Sparvertrag, nach den 10 Jahren Einzahlung? 

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12.73K

 
So hoch? (1): R10=2.500*1,045 *(1,045^10-1)/(1,045-1)=86276,08   ─   n008 07.12.2020 um 19:43
Reichlich viel für 10 mal 2500 = 25000 Einzahlung. Da kommt was um die 30000 raus   ─   scotchwhisky 07.12.2020 um 19:55
(1) So?
R10=2500*1,045^10=3882,42
n=log(Rn/r*q*(q-1)+1)/log(q)
n=log(R10/2500*1,045*(1,045-1)+1)/log(1,045)   ─   n008 08.12.2020 um 17:36
Die Formel oben(1.Kommentar) ist gut. Du musst nur richtig rechnen.   ─   scotchwhisky 09.12.2020 um 09:10
Aber da steht "wie lange", also ist nicht "n" gesucht?   ─   n008 09.12.2020 um 10:03
Richtig. n ist gesucht., Ich wollte das Schritt für Schritt machen, Erstmal feststellen, wieviel Geld überhaupt da ist um dann zu berechnen, wie lange man davon wieder abheben kann. Man kann das aber auch alles auf einmal berechnen.   ─   scotchwhisky 09.12.2020 um 10:15
Also dasselbe mit der ersten Formel?
R10=32102,95
n=log(R10/2500*1,045*(1,045-1)+1)/log(1,045)=10 Jahre
   ─   n008 09.12.2020 um 11:41
10 Jahre kann nicht stimmen.
Wir hatten ja festgestellt, dass über 30000Euro angespart sind. Da kann ma locker ( auch ohne Zins und Zinseszins) 12 mal 2500 Euro abheben. Also muss n größer als 12 sein.   ─   scotchwhisky 09.12.2020 um 12:25
Was ist dann der Fehler hier n=log(R10/2500*1,045*(1,045-1)+1)/log(1,045)   ─   n008 11.12.2020 um 12:14

Kommentar schreiben

0

Aufgabe 1. mal ganz von vorn:
1. Einzahlung am Ende des Jahres 0 : 2500  ==> Guthabensumme=2500
2. Einzahlung am Ende des Jahres 1: 2500  ==> Guthabensumme 2500 + i*2500 +2500 = 2500(1+i) +2500 = 2500 (q +1) mit q=1+i
3.Einzahlung am Ende des Jahres 2 : 2500 ==> Guthabensumme 2500(q+1)*q +2500 = 2500(q^2 +q +1)

10 .Einzahlung am Ende des Jahres 9: 2500 ==> Guthabensumme 2500 (q^9 +q^8 +  + ++q^2+q+1) = \(2500 *\sum_{i=0}^9 q^i = 2500 {q^{10} -1 \over q-1}\)
Diese Guthabensumme nennen wir K und  K=30.720€ (du hast oben K nochmal verzinst und kommst dann auf 32.102).
Ich bleibe aber für die weitere Berechnung bei K=30720.
Jetzt fängt die Auszahlungsreihe an: Wir fangen neu an zu zählen.
Am Ende des Jahres 0 ist das Guthaben auf K*q angewachsen, davon wird 2500 abgehoben; macht Kq - 2500.
Am Ende des Jahres 1 ist das Guthaben (Kq-2500)*q -2500 = Kq^2 -2500(q+1)
Am Ende des  Jahres 2 ist das Guthaben  Kq^3 -2500(q+1)*q -2500= Kq^3 -2500( q^2 +q+1) ; jetzt sieht man:
am Ende des Jahres n ist das Guthaben \( Kq^n  -2500 (q^{n-1} + q^{n-2} ++ +q^2+q+1 =K*q^n -2500 \sum{i=0}^{n-1}q^i= Kq^n-2500*{q^n -1 \over q-1}\)
wir suchen das n wo das Guthaben 0 ist ==> \(K*q^n = 2500 * {q^n -1 \over q-1}\)
jetzt erinnern wir uns, was K war,  nämlich \(K= 2500 *{q^{10} -1 \over q-1}\) und setzen ein :
\(2500 *{q^{10} -1 \over q-1}*q^n= 2500 *{q^n -1 \over q-1} ==> (q^{10}-1)*q^n = q^n -1 ==> q^n={ -1 \over q^{10}-2} ==> n= {ln 1 -ln(2-q^{10}) \over ln q}= {-ln(2-q^{10}) \over ln q}= 18,3\)

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12.73K

 

Kommentar schreiben

Jetzt Antwort schreiben