Als erstes versuchen wir mal auszurechnen, wieviel der Sparer ohne die zusätzliche Zahlung nach 10 Jahren hat. Das sind mit \(r=1,045, N=50000, Z=6000\) dann

\(((\ldots((N\cdot r+Z)\cdot r+Z)\cdot r\ldots)\cdot r+Z = Nr^{10}+Z(r^9+r^8+\ldots+1)=Nr^{10}+Z\frac{r^{10}-1}{r-1}.\)

Sei \(a\) das Jahr, nach dem er die \(X=15000\) extra einzahlt. Dann werden diese noch \(10-a\) Jahre versteuert, er erhält also zusätzlich \(Xr^{10-a}\). Ab jetzt ist es nur noch Rumrechnen:

\(171790,65=:R=Nr^{10}+Z\frac{r^{10}-1}{r-1}+Xr^{10-a}\Longrightarrow r^{10-a}=\frac1X\left(R-Nr^{10}-Z\frac{r^{10}-1}{r-1}\right)\)

\(a=10-\log_r\left(\frac1X\left(R-Nr^{10}-Z\frac{r^{10}-1}{r-1}\right) \right)\approx3,000005\)