Für den ersten Teil betrachte beispielsweise die folgende Abbildung

\( \varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-1}, (x_1, x_2, \dots, x_n)^T \to ( \ x_1-x_2, \ x_2 - x_3 \ , \ \dots \ , \ x_{n-1} - x_n \ )^T \)

Zeige, dass \( \varphi \) ein Vektorraum-Homomorphismus ist und dass \( ker( \varphi ) = D \) ist. Nach der Dimensionsformel ist dann \( \dim( im(\varphi)) = \dim(\mathbb{R}^n) - \dim (D) = n - 1 = \dim (\mathbb{R}^{n-1})\) und somit muss \( \varphi \) surjektiv sein. Dann ist nach dem Homomorphiesatz die Abbildung \( \mathbb{R}^n / D \to \mathbb{R}^{n-1}, x+D \to \varphi(x) \) ein Isomorphismus.

Für den zweiten Teil betrachte beispielsweise den Einsetzungshomomorphismus

\( \psi: \mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}, p \to p(i)  \)

Dass dies ein Homomorphismus ist, dürfte klar sein. Es ist \( ker( \psi ) = U \), denn: Sei \( f \cdot (X^2 + 1) \in U \), dann ist \( \psi (f \cdot (X^2 + 1) ) = f(i) \cdot (i^2 + 1) = 0\), also \( f \cdot (X^2 + 1) \in ker( \psi ) \). Andererseits: wenn \(p \in ker( \psi ) \) ist, dann ist \( p(i) = \psi (p) = 0 \), also \(i\) eine Nullstelle von \(p\), und da \(p\) ein reelles Polynom ist, muss dann auch das komplex Konjugierte eine Nullstelle sein, also \(p(-i)=0\). Das bedeutet, wir können \((X-i)(X+i)=X^2+1 \in \mathbb{R}[X]\) rausfaktorisieren, es gibt also ein \(f \in \mathbb{R}[X] \), sodass \( p = f \cdot (X^2 + 1) \in U \).

Als Kern eines Vektorraum-Homomorphismus muss \(U\) somit ein Untervektorraum sein.

Ferner ist \( \psi \) surjektiv, denn für alle \(z=a+bi \in \mathbb{C} \) ist \(p=bX + a \in \mathbb{R}[X] \) mit \(\psi(p)=p(i)=z \). Mit dem Homomorphiesatz ist dann also die Abbildung \( \mathbb{R}[X] / U \to \mathbb{C}, p + U \to \psi(p)=p(i) \) ein Isomorphismus.