Der Vektor \((\frac12,-5,3,1)^t\) erzeugt den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems \(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2=\beta_1w_1+\beta_2w_2\). Setzt du dann entweder die ersten beiden Komponenten des Lösungsvektors in die linke Seite der Gleichung oder die letzten beiden Komponenten in die rechte Seite der Gleichung ein, so erhälst du also einen Vektor, der das Gleichungssystem löst, der also im Schnitt der Unterräume liegt und damit diesen erzeugt. Hier wurde (willkürlich) die linke Seite des Gleichungssystems gewählt und berechnet $$\frac12u_1-5u_2=\frac12\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-5\\-4\end{pmatrix}$$

\[\frac12u_1-5u_2=\frac12\pmatrix{2\\0\\2}-5\pmatrix{1\\1\\1}=\pmatrix{1-5\\0-5\\1-5}=\pmatrix{-4\\-5\\-4}.\]