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Hallo,
in der Mathematik ist das Pivotelement das Element, dass bei einem Algorithmus als erstes ausgewählt wird. Ich vermute also, wenn du mittels Gauß die Zeilenstufenform berechnest, soll dieser Eintrag oben links stehen.
Oder anders gesagt, die Zeile von der wir ein Vielfaches zu jeder anderen Zeile addieren um dort in der Spalte (bei den anderen Zeilen) überall Nullen zu erzeugen ist die Pivotzeile. Die Pivotspalte ist diese in der wir versuchen Nullen zu erzeugen und dort wo sich Zeile und Spalte trifft ist ist das Pivotelement.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Hey Christian, vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe nun einmal oben die Musterlösung hinzugefügt. Allerdings wurde a21 dort doch garnicht als Pivotelement festgelegt, da es durch den ersten Rechenschritt schon verändert wurde. Ich weiß nun nicht, welche Intention die Aufgabe hat, wenn man a21 gar nicht als Pivotelement auswählt.
─
3inst3in
17.01.2020 um 13:43
Doch es wurde als Pivotelement genommen. Fand es etwas schwer das zu umschreiben, deshalb habe ich versucht es anschaulich mit der Zeilenstufenform zu vergleichen.
Ich wills nochmal anders versuchen.
Wir wählen im Gauß-Algorithmus eine Zeile aus. Von allen anderen Zeilen ziehen wir ein Vielfaches der ersten Zeile ab um in der ersten Spalte überall (bis auf in der als erstes gewählten Zeile) Nullen zu erzeugen.
Die erste genannte Zeile ist die Pivotzeile und die Spalte in der wir die Nullen erzeugen wollen ist die Pivotspalte. Dort wo sich Pivotzeile und -spalte treffen, ist das Pivotelement.
In deiner Musterlösung wurde zu der ersten das doppelte der zweiten addiert. Zu der dritten das \(-2\)-fache der zweiten und zur letzten das \(-1\)-fache der zweiten Zeile. Also ist die zweite Zeile die Pivotzeile.
Da wir außerdem in der ersten Spalte die Nullen erzeugen, ist diese die Pivotspalte.
Pivotzeile und -spalte treffen sich bei \( a_{21} \). Somit ist dieser Eintrag das Pivotelement.
Das dieses Element dann nochmal verändert wurde, spielt dabei keine Rolle. Man hätte dort auch \(-1\) stehen lassen können, aber ich denke weil hier ein Algorithmus hintersteckt, wird die Einheitsmatrix angestrebt, um die Lösung aus dem Lösungsvektor sofort ablesen zu können. Deshalb wurde das Pivotelement zusätzlich noch normiert (auf \(1 \) gebracht). ─ christian_strack 17.01.2020 um 14:45
Ich wills nochmal anders versuchen.
Wir wählen im Gauß-Algorithmus eine Zeile aus. Von allen anderen Zeilen ziehen wir ein Vielfaches der ersten Zeile ab um in der ersten Spalte überall (bis auf in der als erstes gewählten Zeile) Nullen zu erzeugen.
Die erste genannte Zeile ist die Pivotzeile und die Spalte in der wir die Nullen erzeugen wollen ist die Pivotspalte. Dort wo sich Pivotzeile und -spalte treffen, ist das Pivotelement.
In deiner Musterlösung wurde zu der ersten das doppelte der zweiten addiert. Zu der dritten das \(-2\)-fache der zweiten und zur letzten das \(-1\)-fache der zweiten Zeile. Also ist die zweite Zeile die Pivotzeile.
Da wir außerdem in der ersten Spalte die Nullen erzeugen, ist diese die Pivotspalte.
Pivotzeile und -spalte treffen sich bei \( a_{21} \). Somit ist dieser Eintrag das Pivotelement.
Das dieses Element dann nochmal verändert wurde, spielt dabei keine Rolle. Man hätte dort auch \(-1\) stehen lassen können, aber ich denke weil hier ein Algorithmus hintersteckt, wird die Einheitsmatrix angestrebt, um die Lösung aus dem Lösungsvektor sofort ablesen zu können. Deshalb wurde das Pivotelement zusätzlich noch normiert (auf \(1 \) gebracht). ─ christian_strack 17.01.2020 um 14:45
Danke lieber Christian für die Antwort. Ich habe es nun verstanden. Ich könnte eigentlich auch die 2. Zeile mit der 1. Zeile tauschen und dann nach dem gewohnten Verfahren die Matrix auf Stufenform bringen, sodass dann die Zeile immer noch eine Pivotzeile ist, bzw. a21 nun die Position a11 einnimmt . Ich war nur etwas verwirrt, da ich immer die 1. Zeile als Pivotzeile gewählt habe, um den Gauß-Algorithmus anzuwenden. Besten Dank für Deine Mühe.
─
3inst3in
17.01.2020 um 14:54
Ja genau :)
Sehr gerne. Ja verständlich. Das war dann auch der Sinn hinter der Aufgabe :D ─ christian_strack 17.01.2020 um 14:57
Sehr gerne. Ja verständlich. Das war dann auch der Sinn hinter der Aufgabe :D ─ christian_strack 17.01.2020 um 14:57