Sei \((Ω,\mathscr A, µ)\) ein endlicher Maßraum und \(f ∈ \mathscr L^{∞}(Ω) \). Zeigen Sie, dass dann \(f ∈ \mathscr L^{p}(Ω) \) für alle  \(1 ≤ p < ∞ \) gilt und \(lim_{p\to∞} \Vert f \| _{p} = \Vert f \| _{∞}\). Zeigen Sie, dass aus \(f ∈ \mathscr L^{p}(Ω) \) für alle \(p ∈ [1, ∞)\) im Allgemeinen nicht \(f ∈ \mathscr L^{∞}(Ω) \) folgt.

Hat jemand eine Idee dazu?