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Das ist so nicht richtig.
Wenn du die Elemente zählen willst, dann musst du das so machen:
Die Abbildung \( f: R^{\times} \times R \to G \) mit \( f(u,r) = \begin{pmatrix} u & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) ist offensichtlich eine Bijektion und somit gilt \( \vert G \vert = \vert R^{\times} \times R \vert = \vert R^{\times} \vert \cdot \vert R \vert \)
Für den Fall \( R = \mathbb{Z}_{12} \) musst du dir jetzt also überlegen, was \( \vert \mathbb{Z}_{12}^{\times} \vert \) und was \( \vert \mathbb{Z}_{12} \vert \) ist, um dann mit obiger Formel \( \vert G \vert \) auszurechnen.
Deine Aussage "\(u\) ist aus der Menge \(\{1,5,7,8,9,10,11\}\)" stimmt so übrigens nicht. Überleg dir noch mal, welche Elemente in \( \mathbb{Z}_{12}^{\times} \) liegen.
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─ bochenko 17.01.2021 um 21:33
Surjektivität: Sei \( M \in G \). Dann hat \( M \) nach Definition von \( G \) die Form \( M = \begin{pmatrix} u & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) für ein \( u \in R^{\times} \) und ein \( r \in R \). D.h. es gibt ein Element \( (u,r) \in R^{\times} \times R \) mit \( f(u,r) = \begin{pmatrix} u & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = M \).
Du hast die richtige Idee, bei der Bestimmung von \( \mathbb{Z}_{12}^{\times} \), du kommst aber irgendwie auf die falsche Menge. Zum Beispiel haben \( 8 \) und \( 12 \) den gemeinsamen Teiler \( 2 \). Also ist \( 8 \) nicht teilerfremd zur \( 12 \) und kann somit nicht in \( \mathbb{Z}_{12}^{\times} \) liegen. ─ 42 17.01.2021 um 15:19