Es gilt \(\sqrt{76}=2\sqrt{19}\). Du kannst vollkommen analog zum Beweis für \(\sqrt2\) zeigen, dass \(\sqrt{19}\) irrational ist. Das Produkt aus einer irrationalen und einer von Null verschiedenen rationalen Zahl ist dann wiederum irrational, sodass auch \(\sqrt{76}\) irrational ist.

Alternativ kann man auch den Beweis wie bei \(\sqrt2\) durchziehen und kommt dabei zu dem Punkt 

\(\frac pq=\sqrt{76}\Longrightarrow p^2=76q^2\)

Jetzt kann man nicht (wie bei \(\sqrt2\)) folgern, dass \(p\) durch \(76\) teilbar ist, weil \(76\) nicht quadratfrei ist. Aber wir können folgern, dass \(p\) durch den quadratfreien Teil von \(76\), also \(19\) teilbar ist. Sezen wir \(p=19r\), erhalten wir \(19r^2=4q^2\), und da \(19\) und \(4\) teilerfremd sind, muss \(q\) durch \(19\) teilbar sein. Somit erhalten wir ebenfalls einen Widerspruch, weil \(p\) und \(q\) teilerfremd wählbar sein müssen.