Beweis Cauchy-Folge verstehen

Aufrufe: 26     Aktiv: 01.05.2021 um 17:50

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Lösung:





Kann mir jemand helfen, diesen Beweis zu verstehen? Ich sage mal, was ich weiß und was ich verstehe.
Also intuitiv ist das eine Cauchy-Folge, weil der Faktor |q|<1 dafür sorgt, dass zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder immer näher zusammenrücken; ähnlich der Funktionsweise der geometrischen Reihe.
Nur den Beweis verstehe ich nicht. Ich wäre nie darauf gekommen, vollst. Induktion zu verwenden. Ist das, was nach dem ersten Satz kommt, die Induktion oder soll man die Induktion selbst machen und dann geht's los mit "Wir setzen c := |....."? Und wie kommt man überhaupt darauf, dem q eine Potenz zu geben? Davon ist in der Aufgabenstellung doch überhaupt nicht die Rede?

Also zusammenfassend: obwohl mir intuitiv klar ist, wieso das eine Cauchy-Folge ist, verstehe ich den Beweis überhaupt nicht.
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Der Beweis ist nicht einfach, deshalb hattest du ja auch Hinweise gegeben. Zu deinen einzelnen Fragen:
Die Induktion wird in der Lösung nicht ausgeführt, es wird davon ausgegegangen, dass du das alleine hinkriegst. Die Induktion ist in diesem Fall aber auch wirklich einfach. Die Idee des Beweises ist, von einer Aussage der Form \(|a_{n+1}-a_n|\leq\ldots\) zu einer Aussage der Form \(|a_{n}-a_{n_0}|\leq\ldots\) zu kommen. Dazu teilt man diese Differenz zuerst in mehrere Differenzen \(|a_{k+1}-a_{k}|\) auf, so kommt man auf die große Summe. Jetzt bringt es aber nichts, auf jeden Summanden die Voraussetzung einzeln anzuwenden, denn das hilft nicht weiter. Man muss die Voraussetzung auf jeden Summanden so oft anwenden, dass sich das Ergebnis zusammenfassenlässt. Eine Möglichkeit dafür ist, einzusetzen, bis überall \(|a_1-a_0|\) dasteht. Und jedes Mal, wenn du einmal die Voraussetzung einsetzt, kommt ein Faktor \(q\) dazu.
Es ist recht natürlich, in \(|a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|\) weiterzumachen, und die rechte Seite wieder zu ersetzen, da die ja genau die gleiche Form wie die linke Seite hat. Dann kommt man auf \(|a_{n+1}-a_n|\leq q^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\), und wenn man immer so weiter macht, auf den Ausdruck mit dem \(q^n\). Und ein sauberer Beweis dafür geht mit vollständiger Induktion.
Wie gesagt, ohne Hinweise wäre diese Aufgabe für einen Studienanfänger schwer, aber mit Hinweisen und ein bisschen Rumprobieren sollte es eigentlich ganz gut machbar sein.
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