Der Beweis ist nicht einfach, deshalb hattest du ja auch Hinweise gegeben. Zu deinen einzelnen Fragen:
Die Induktion wird in der Lösung nicht ausgeführt, es wird davon ausgegegangen, dass du das alleine hinkriegst. Die Induktion ist in diesem Fall aber auch wirklich einfach. Die Idee des Beweises ist, von einer Aussage der Form \(|a_{n+1}-a_n|\leq\ldots\) zu einer Aussage der Form \(|a_{n}-a_{n_0}|\leq\ldots\) zu kommen. Dazu teilt man diese Differenz zuerst in mehrere Differenzen \(|a_{k+1}-a_{k}|\) auf, so kommt man auf die große Summe. Jetzt bringt es aber nichts, auf jeden Summanden die Voraussetzung einzeln anzuwenden, denn das hilft nicht weiter. Man muss die Voraussetzung auf jeden Summanden so oft anwenden, dass sich das Ergebnis zusammenfassenlässt. Eine Möglichkeit dafür ist, einzusetzen, bis überall \(|a_1-a_0|\) dasteht. Und jedes Mal, wenn du einmal die Voraussetzung einsetzt, kommt ein Faktor \(q\) dazu.
Es ist recht natürlich, in \(|a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|\) weiterzumachen, und die rechte Seite wieder zu ersetzen, da die ja genau die gleiche Form wie die linke Seite hat. Dann kommt man auf \(|a_{n+1}-a_n|\leq q^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\), und wenn man immer so weiter macht, auf den Ausdruck mit dem \(q^n\). Und ein sauberer Beweis dafür geht mit vollständiger Induktion.
Wie gesagt, ohne Hinweise wäre diese Aufgabe für einen Studienanfänger schwer, aber mit Hinweisen und ein bisschen Rumprobieren sollte es eigentlich ganz gut machbar sein.