Lineare Algebra I, kann jemand erklären, wie man auf die Lösung kommt?

Aufrufe: 167     Aktiv: 06.02.2024 um 22:56
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Die lösung ist:


Ich verstehe nur nicht wie man auf dei MAtrizen kommt, wenn ich den Drehwinkel 2pi/3, also 120° habe, habe ich doch (a1a3a5) oder?

Jetzt könnte man begründen, z. B. bei A1, dass man ja dei Base A=(a1,a3) hat und wenn ich das mit A_(1), wie bei der Lösung angebe, multipliziere entsteht doch jedoch a3 und a5?

Also A multipliziert mit A_(1) wie in der Lösung, ergibt a3 und a5, wo ist die a1?

Und  nehmen wir mal s14 da ist doch, wenn wir ide Speigelun gals zyklische Permutationen darstellen
(a5a3)(a6a2) gegeben? wenn wir uns A_(3) anschauen A mal A_(3) ergibt a1 und a5? Wie kommen die auf diese Ergebnisse?
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Erstmal ist das Bild falsch, weil dort Punkte markiert sind, aber es in der Aufgabe um Vektoren geht. Ich interpretiere jetzt mal $a_1$ als den Ortsvektor des "Punktes" $a_1$.
In der Aufgabe haben wir $f(\cal A)=(f(a_1),f(a_3)) \stackrel{!}{=} (a_1, a_3)\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\end{pmatrix}$, also z.B. $f(a_1)=u_1\cdot a_1+u_2\cdot a_3$
D.h. die Bilder sind der in der Basis $\cal A$ darzustellen.
Im Fall $f=d_{2\pi/3}$ ist $f(a_1)=a_3=0\cdot a_1 + 1\cdot a_3$ und $f(a_3)=a_5=-1\cdot a_1-1\cdot a_3$.
Usw., normale Matrizenrechnung.
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Danke, aber so ganz habe ich es noch nicht "entziffert".
Nehmen wir mal das erste Beispiel, in der Vorlesung + Übung haben wir immer gelernt, wie wir in solchen Beispielen Drehungen und Spiegelungen als Zykllen angeben.

Wenn ich die Drehung d_(2pi/3) betrachte, so haben wir den Zyklus: (a1a3a5), also a1 bildet auf a3 ab, a3 auf a5 und a5 auf a1.

Woher weiß ich nun, was die Bildmenge ist? Habe ja drei "Werte" zur Auswahl.
(a1a3a5), Du hast recht, dass a1 auf a3 abbildet, und a3 auf a5, aber sogleich bildet ja auch a5 auf die a1 ab? Warum wird dann die a1 als Teil der Bildmenge nicht zusätzlich mitbetrachtet?


Und bei der Spiegelung, z. B. S_(14) bildet a3 auf a5 ab, also (a3a5) und a2 auf a6, also (a2a6), zugleich kann ich doch jedoch auch sagem, dass a5 auf a3 abbildet und a6 auf a2, da ich die Zyklen so auch lesen könnte? Wie genau identifizierst du da das?   ─   fejwio32 06.02.2024 um 16:02
Es geht hier nicht um Zyklen, es geht um lineare Abbildungen, die durch Matrizen beschrieben werden. Genauso hab ich das behandelt. Dazu muss man nichts (gar nichts!) über Zyklen wissen.
Schau Dir in den Unterlagen nochmal an, was eine Matriz bez. einer linearen Abbildung bedeutet.   ─   mikn 06.02.2024 um 16:24
Okay dnake, dann ist mir aber auch immernoch eine Sache nicht klar, es gilt doch f(a5)=a1, bei d_(2pi/3) oder?

Also wie haben f(a_1)=a_3, f(a_3)=a_5 und wenn ich mich nicht irre f(a_5)=a_1, warum müssen wir f(a_5)=a_1 nicht abbilden? Die Matrix A_1 wäre ja dann nur f(a_1)=a_3 und f(a_3)=a_5? Wo ist f(a_5)=a_1?   ─   fejwio32 06.02.2024 um 20:23
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Es geht um die Basis $\cal A=\{a_1,a_3\}$, siehe Aufgabe. Mit $a_5$ haben wir nichts zu tun, genauso wenig wie mit $a_2,a_4,a_6$.   ─   mikn 06.02.2024 um 20:29
Aso, ich soll nur schauen, worauf a1 und a3 abbilden in dem Konstrukt #faceplam!

Aber dann bin ich noch etwas verunsichert, bei Spiegelung s_14 gilt ja f(a5)=a3, f(a3)=a5, f(a6)=a2 und f(a2)=a6, so würde uns ja nun nur:
f(a3)=a5
interessieren richtig? a1 bildet hier auf garnichts ab, sollte dann die Matrix A_3 nicht nur aus
0 -1
0 -1

betsehen? Stattdessen ist da:
1 -1
0 -1
und wir behalten somit ja noch die a1? Also da ist ja nun a1 bildet auf a1 ab und a3 auf a5, a3 auf a5 stimmt, aber warum a1 auf a1?   ─   fejwio32 06.02.2024 um 22:37
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Zu $s_{14}$: Wieso "auf gar nichts"? Landet das Bild dann im Paralleluniversum oder was? Die Abb. $s_{14}$ hat als Def.bereich ganz $R^2$, und nun überleg, wo der Vektor $a_1$ hin abgebildet wird. Erstmal nicht auf "gar nichts", und auch nicht auf den Nullvektor (das wäre nicht "gar nichts"). Zeichne den Vektor $a_1$ und spiegele.   ─   mikn 06.02.2024 um 22:56

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