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Hallo zusammen! Kann jemand mir bitte helfen? Ich versehe nicht, wie man diese Aufagen löst!
Wir betrachten eine surjektive Funktionf:R→R. Zeigen Sie, dass durch
A:={(x,y)∈ R x R | f(x)=f(y)}
eine Äquivalenzrelation aufgegeben ist.
Finden Sie außerdem eine Bijektion zwischen R und der Menge der Äquivalenzklassen von A
Ich bedanke mich im Voraus
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Das erste ist immer unklare Begriffe rauszusuchen.
Was ist eine ÄR?
Dazu müssen drei Eigenschaften erfüllt sein (raussuchen!).
Fang mit der ersten (reflexiv) an, das ist am einfachsten.
Vielleicht hilft es die Relation vorher so zu schreiben: $(x,y)\in A \iff f(x)=f(y)$.
Damit ist der Nachweis der Eigenschaften schnell erledigt. Ersetze in der Definition der EIgenschaften gemäß obiger Formel. Zeichen für Zeichen, lasse kein einziges dabei weg.
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х~y <=> f(x)=f(у) =>
1) x~x, weil f(x)=f(x) - Reflexivität;
2) wenn х~y, dann f(x)=f(у) => f(y)=f(x) => y~x - Symmetrie;
3) wenn x~y, dann f(x)=f(у), wenn y~z, то f(y)=f(z) => f(x)=f(z) => x~z. - Transitivität
Könnten Sie bitte sagen, ob ich es richtig gemacht habe?
  ─   userba6425 07.11.2021 um 14:31

Ja, alles richtig. Und warum ging das jetzt so glatt, wenn Du vorher keine Ahnung hattest? Ich möchte verstehen, woran es hängt um besser erklären zu können.
Kriegst Du das mit den ÄKlassen hin? Was sind die ÄKlassen hier? Kann man auch erstmal mit Worten sagen.
  ─   mikn 07.11.2021 um 14:33

Ich habe dank Ihrer Erklärungen verstanden, was sie gemeint haben. Aber darf ich noch eine Frage Ihnen stellen? Wie ich verstanden habe, es gar keine Bijektion zwischen R und Äquivalenzrelation gibt?   ─   userba6425 07.11.2021 um 16:10

Doch, es gibt eine Bijektion zwischen den ÄKen und R (nicht zwischen ÄR und R). Daher nochmal die Fragen: Wie sehen die ÄK aus? Bedenke, in einer ÄK befinden sich alle Elemente, die zueinander in Relation stehen.
Zur Übung: Auf der Menge aller Schüler in einer Schule kann man über "geht in die gleiche Schulklasse wie" eine ÄR definieren. Wie sehen dabei die ÄK aus?
Hier lautet die ÄR: "hat den gleichen Funktionswert in x wie".
  ─   mikn 07.11.2021 um 16:15

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