Vektoren über Ringe bilden?

Aufrufe: 27     Aktiv: 25.06.2021 um 17:47

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Ich habe diesmal nur eine kleine Verständnisfrage, warum ist es nicht möglich Vektoren über einen Ring, also R^(n) zu bilden? Ist das aus rein logischer Sicht deswegen nicht möglich, da man mit Vektoren irgendwelche physikalischen, wirtschaftlichen oder sonstige Probleme lösen will. Wäre es daher deswegen problematisch, da jeder Körper & Integritätsring (im endlichen ja äquivalent) keinen Nullteiler besitzt? D.h. würde man beispielsweise Vektoren über Z4^(n) bilden und hätte als Einträge (2 1 0 ) (2 2 0)  dann wäre die Multiplikation ja 2 * 2 = 0 also (0 2 0), was von Grund aus, aus oben genannten Gründen ausgeschlossen wird?

Danke im Voraus :)
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Es gibt auch sowas wie Vektorräume über Ringe, das ganze nennt man dann Modul und ist ein sehr spannender Bereich der Algebra.
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Es gibt "Vektorräume" über Ringen, nur dass man sie dann nicht mehr Vektorräume, sondern Moduln nennt. Aufgrund von Tatsachen, wie dass es Nullteiler gibt, oder dass der Ring nichtmal kommutativ sein muss, sind Moduln viel komplizierter als Vektorräume, zum Beispiel sind nicht alle endlich-erzeugten Moduln isomorph zu $R^n$ für ein $n\in\mathbb N$, was für Vektorräume ja schon gilt.
In reinen Mathe-Veranstaltungen begegnet man Moduln üblicherweise das erste Mal in der Linearen Algebra 2 für eine genaue Definition/Beweise der Jordan-Normalform einer Matrix oder dann in abstrakter Algebra. Die sogenannte "Kommutative Algebra" ist das Studium von Ringen, dabei spielen Module eine große Rolle. Wenn du in deinem Studium in diese Richtung gehen willst, wirst du dich also noch sehr viel mit Moduln beschäftigen.
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