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Gegeben sind
A(2/0/3)
B(1/-1/5)
C(3/-2/0)

Die Aufgabe: Durch A,B und C ist die Ebene festgelegt. Nun soll man 2 verschiedene Parametergleichungen der Ebene E angeben.

Eine kann ich ja indem ich halt Vektor A als Ortsvektor bzw. Stützvektor nehme und den Rest der Parametergleichungen halt Vektor AB und Vektor AC.

Wie soll ich nun eine weitere Parametergleichungen der Ebene angeben? Kann ich dafür auch den Vektor B oder Vektor C als Ortsvektor nehmen und dannfür den Rest der Parametergleichungen Vektor BA und Vektor BC bzw. wenn ich C als Ortsvektor nehem Dann Vektor CA und Vektor CB...

Wenn das nicht funktionieren wurden dann:
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Eine Ebene wird durch drei Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) eindeutig festgelegt.

Welchen Punkt man für den Stützvektor $\vec{OA}$ nimmt, ist egal. Du könntest ja auch einfach die Punkte anders benennen:
A(1/-1/5), B(3/-2/0) und C(2/0/3)
Das sind die gleichen drei Punkte nur mit anderen Namen.

Wenn Du dann den Punkt A würdest, wäre das ja genau der Punkt B aus Deiner ersten Liste.

Wichtig: A ist der Name für den Punkt. Du schreibst, dass Du "Vektor A als Stützvektor" verwenden möchtest. Das geht nicht, weil A kein Vektor ist, sondern, wie gesagt, ein Punkt. Das sieht man auch an den verschiedenen Schreibweisen:

Punkt: $A\;(\;2\;|\;0\;|\;3\;)$ und Vektor $\vec{OA}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Manchmal wird für $\vec{OA}$ auch die Bezeichnung $\vec{a}$ verwendet - ich würde das nicht immer empfehlen. Denn dabei muss man aufpassen, dass es nicht zu Missverständnissen führt, wenn noch viele andere Vektoren zwischen Punkten verwendet werden, die ebenfalls nur einen Buchstaben unter dem Vektorpfeil als Namen bekommen...


Viele weitere Möglichkeiten für andere Parametergleichungen für die gleiche Ebene ergeben sich übrigens, wenn man die Spannvektoren verändert. Wenn man zuerst $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ verwendet hat, dann kann man natürlich auch folgende Variationen nehmen:
  • $\vec{BA}$ und $\vec{CA}$,
  • $\vec{BA}$ und $\vec{BC}$,
  • $2\cdot \vec{AB}$ und $2\cdot \vec{AC}$,
  • $(\vec{AB}+\vec{AC})$ und $(\vec{AB}-\vec{AC})$

und viele weitere Möglichkeiten...

Genauso kann man jeden beliebigen anderen Punkt $P$ für den Stützvektor $\vec{OP}$ verwenden, der nur irgendwo auf der Ebene liegen muss. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten.
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Vielen Dank für die Antwort. Hat mir sehr weitergeholfen. Ich meinte mit Vektor A übrigens a mit dem pfeil drüber. Generell wenn ich Vektor geschrieben habe, war meine Intention, dass man sich imaginär einen Pfeil über A bzw. AB usw. denken sollte. Jedenfalls weiß ich jetzt Bescheid, dass Vektor a bzw. OA nicht unbedingt als Stützvekor herhalten muss und dass ich auch die anderen Punkte verwenden kann sodass ich schonmal 3 Möglichkeiten der Parametergleichung die auf der Ebene liegt sicher habe.

-Gruß
  ─   mh2a0b0k3 25.09.2021 um 23:32

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