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Habe eine Frage zu einem Satz aus meiner VL bzgl. des Bidualraumes:

Gegeben ist die kanonische Abbildung
\(\Phi: V \longrightarrow V^{* *}, \quad a \longmapsto a^{*},\)
wobei \( a^{*} \) für \( a \in V \) gegeben ist durch
\(a^{*}: V^{*} \longrightarrow K, \quad \varphi \longmapsto \varphi(a) .\)
Satz: Ist \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum, so ist die Abbildung \( \Phi: V \longrightarrow V^{* *} \) ein Isomorphismus von \( K \)-Vektorräumen.

Beweis:
Dass $\Phi$ linear ist, bereitet mir keine Schwierigkeiten, geht mir um Folgendes:

Bilden nun \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) eine Basis von \( V \) und ist \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \) die hierzu duale Basis, so ist \( a_{1}^{*}, \ldots, a_{n}^{*} \) die duale \( \operatorname{Basis~zu~} \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \); denn es gilt
\(a_{i}^{*}\left(\varphi_{j}\right)=\varphi_{j}\left(a_{i}\right)=\delta_{i j} \quad \text { für } \quad i, j=1, \ldots, n .\)
Unter \( \Phi \) wird also eine Basis von \( V \) auf eine Basis des Bildraums \( V^{* *} \) abgebildet. Dies bedeutet dann, dass \( \Phi \) notwendig ein Isomorphismus ist.

Ich verstehe nicht ganz, warum \( \Phi \) jetzt "notwendigerweise" ein Isomorphismus ist. Ist das so offentsichtlich? Ich meine, gut, jetzt ist da eine Abbildung zwischen den Basisvektoren. Wegen $\dim(V)=\dim(V^{**})$ weiß ich ja sowieso schon, dass da ein Isomorphismus existiert, verstehe halt nicht, warum aus dem obrigen folgt, dass es "notwendigerweise" \( \Phi \) sein muss.

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Moin,
Wie du schon geschrieben hast, erhältst du durch obige Überlegungen eine lineare Abbildung \(V \to V^{**}\), die über die Basen von V und V** definiert ist. Nun ist die Abbildung surjektiv, da eine Basis definitionsgemäß den ganzen Vektorraum aufspannt und auch injektiv, da eine Linearkombination mittels der Basiselemente eindeutig ist. 
Das kann man sich relativ einfach überlegen, es wird aber auch unter dem Prinzip der "Linearen Fortsetzung" oft in der Linearen Algebra 1 eingeführt; es besagt, dass eine lineare Abbildung \(V\to W\), die auf den Basisvektoren \(v_1,...,v_n\) definiert ist, eindeutig ist. Zusätzlich ist die Abbildung bijektiv, wenn die Basisvektoren von V gerade auf die Basisvektoren von W abgebildet werden, also genau das, was bei dir zutrifft.
LG
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Hier Man findet noch etwas allgemeiner: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Freies_Objekt   ─   mathejean 16.11.2022 um 19:52

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