Wie du schon geschrieben hast, erhältst du durch obige Überlegungen eine lineare Abbildung \(V \to V^{**}\), die über die Basen von V und V** definiert ist. Nun ist die Abbildung surjektiv, da eine Basis definitionsgemäß den ganzen Vektorraum aufspannt und auch injektiv, da eine Linearkombination mittels der Basiselemente eindeutig ist.
Das kann man sich relativ einfach überlegen, es wird aber auch unter dem Prinzip der "Linearen Fortsetzung" oft in der Linearen Algebra 1 eingeführt; es besagt, dass eine lineare Abbildung \(V\to W\), die auf den Basisvektoren \(v_1,...,v_n\) definiert ist, eindeutig ist. Zusätzlich ist die Abbildung bijektiv, wenn die Basisvektoren von V gerade auf die Basisvektoren von W abgebildet werden, also genau das, was bei dir zutrifft.
LG
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