Potenzreihenentwicklung, wie kommt man auf akL-1 und bl, Lösung/Rechenweg

Aufrufe: 1005     Aktiv: 09.06.2020 um 17:23
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Hallo Leute,

ich verstehe nicht, wie man auf akL-1 und auf bl kommt. Wieso ergebt das für bl=0, wenn l ungerade ist und 1 wenn gerade ist? Über eine Erklärung in Deutsch würde mich sehr freuen🙂

Lg

Basti

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Wenn  \(a_k=\frac1{k!}\) ist, ist natürlich \(a_{k-l} = \frac1{(k-l)!}\)..

Zu \(b_l\): die goldene Regel bei Potenzreihen ist: einfach mal das Summenzeichen ausschreiben:

\(\sum\limits_{l=0}^\infty x^{2l} = x^0 +x^2 +x^4+x^6+....\)

also muss \(b_l=0\) für ungerade \(l\) sein und \(=1\) für gerade \(l\). Um die unhandliche Fallunterscheidung zu umgehen, schreibt man das äquivalent um zu

\( b_l =\frac12 (1+(-1)^l)\)..

Nochmal: Das Summenzeichen ist nur eine Abkürzung. Viele Probleme lösen sich, wenn man es einfach ausschreibt.

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Ich verstehe das leider immer noch nicht. Wo ist das x^k im Zähler bei ak? Wieso ist eine 1 im Zähler?

Bl kann ich auch nicht nachvollziehen. Wenn ich gerade l's einsetzte, habe ich das, was Sie ausgeschrieben haben. Die sind ja alle gerade. x^0+x^2 etc. x^0 = 1 + ... Die anderen Terme, wie kann das 0 sein, dazu muss das x=0 sein? Anders geht das nicht?   ─   kamil 08.06.2020 um 18:43
Ak und bk sind doch die ganzen Reihen? Wie meinen Sie das, "da kommt kein x vor, nur Zahlen"? Sie haben bl doch auch ausgeschrieben, mit Geraden x-en.   ─   kamil 08.06.2020 um 19:17
Jetzt ist mir vieles klarer geworden. Ich verstehe aber immer noch nicht, wie bl=1 für gerade l sein kann :(   ─   kamil 08.06.2020 um 22:51
Ok, ich gucke mir also die linke Seite der Gleichung ihres letzen Kommentars an. Wenn ich für l=2 einsetzte, habe ich b2*x^2. Dann kommt die rechte Seite. Die ist x^4. Also lautet die Gleichung b2*x^2=x^4. (Mit den Summen davor). Damit es gleich ist, muss b2=x^2 sein. Dann habe ich x^4=x^4. Was hat das mit der 0 zutun? 😭   ─   kamil 09.06.2020 um 09:55
Nein. Irgendetwas stimmt da nicht. Die Koeffizienten `a_k` und `b_k` enthalten kein `x`. Das sind nur Zahlen. Wie die Koeffizienten bei einem Polynom.   ─   digamma 09.06.2020 um 10:46
Dann geht das garicht. Wie soll es dann gleich sein? Wie ist das sonst gemeint? Ich verstehe echt nicht was die Aufgabe sonst von einem will   ─   kamil 09.06.2020 um 10:59
Wenn i von 1 bis 6 geht, wie soll ich dann b0 bestimmen?   ─   kamil 09.06.2020 um 11:49
Dann sind die Zahlen jeweils 1. Und x, x^3, x^5 gibt es nicht. Also ist bl für diese ungeraden Polynome 0?   ─   kamil 09.06.2020 um 11:57
Alle b_l's sind 1. Denn vor den x-Polynomen steht eine 1.   ─   kamil 09.06.2020 um 12:30
Für bl=0 hätte ich 0*x^0+0*x^1+0*x^2 ... =0. Dann ist alles 0. Habe auch Foto der Rechnung gemacht. Hmm.. Sinn der Sache? :/   ─   kamil 09.06.2020 um 12:56
Habe es ausgeschrieben. Mit was soll ich es jetzt vergleichen?   ─   kamil 09.06.2020 um 13:09
Dann ist b_0=1, b_1=0, b_2=1, b_3=0.... Weil nur die geraden Polynome vorkommen. Jetzt verstehe ich es.

Aber was ich nicht verstehe, wieso jetzt diese Summe. Am Anfang, die erste Antwort von Ihnen, steht die Summe von x^2l. Gibt es da auch ein bl? Wenn ja, verstehe etwas nicht: Sowohl für gerade als auch ungerade l's kommen gerade Polynome raus. Also keine ungeraden. Wie kann dann 0 für ungerade l's rauskommen, wenn die Polynome nur gerade sind?   ─   kamil 09.06.2020 um 14:03
Nicht ganz. Wie meinen Sie das, "da sind keine l's, 2l's usw.?" Wenn ich x^2l habe, gibt es da doch l's, für die ich Zahlen einsetze.   ─   kamil 09.06.2020 um 14:40
Ok. Wenn es bei x^2l auch einen Koefinzienten bl gibt, dann ergibt das wieder keinen Sinn, wenn die ungeraden b_1 und b_3 etc. gleich 0 sind, weil es ausgeschrieben ein x^2 gibt. Oben ist meine Rechnung als Bild   ─   kamil 09.06.2020 um 15:38
Das Problem war, ich habe bl*x^2l gleichzeitig genommen. Das ist anscheinend verboten. :D

Wenn ich es richtig mache, kommen keine ungeraden Potenzen vor. Die existieren also nicht. Deswegen ist es für ungerade l's 0, weil es keine ungeraden Potenzen gibt, richtig?   ─   kamil 09.06.2020 um 15:56
Yo. Danke!

Vor allem für die Gedult.

Jetzt gehe ich mal min. 10std schlafen, um es zu verarbeiten 😁   ─   kamil 09.06.2020 um 17:23

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