Vollständige Induktion mit verschobenem n

Aufrufe: 816     Aktiv: 07.10.2020 um 11:14
0

Gegeben sei folgender Ausdruck:

$$2^{n} > n + 2 , wobei n bei <= 2 f.A., daher n >= 3 } $$

Dies wird bewiesen durch folgende Umrechnungen:

alles wird mit 2 multipliziert, warum auch immer :

$$ 2 * 2^{n} = 2 ^ {n + 1} > 2*(n + 2) (logisch) = 2*n + 4 >= n + 4 >= (n + 1) + 2 (unverständlich)$$

Soweit ich verstanden habe beruht die vollständige Induktion darauf:

1.Induktionsanfang (P(0)), verschoben auf P(3)

2.Induktionsvoraussetzung & Induktionsbehauptung : P(n) => P(n + 1)

3.Induktionsschritt mit Umrechnung, wäre bei meinem bisherigen Verständnis:

$$2^{n} > n + 2 , wobei n = 0, daher hätte ich gerechnet : $$

$$2^{n+3} > n + 2 + 3 => 2^{n + 3} > n + 5 $$

D.h. das soll den Einstieg in die höhere Mathematik ebnen, problematisch nur, wenn ich es nicht verstehe, wenn ich einzelne Schritte nicht verstehe, v.a. daher dass das Buch eher kompliziert geschrieben ist - jedoch als Basis für die Vorlesungen dient. - und für die möchte ich mich halbwegs vorbereiten, da ich kein Mathematik-Genie bin - Daher wäre ich euch unheimlich dankbar, mir die Logik dessen zu erklären, sodass ich den Einstieg verstehe und weiter Spaß and der Mathematik haben darf, vielen, vielen Dank :)

Diese Frage melden
gefragt

Auszubildender, Punkte: 148

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Du hast Recht hinsichtlich der Logik, der Schritt von n auf n+1 ist nicht immer umkehrbar, wie im obigen Text, wo von n+1 auf n geschlossen wird. Ich würde so vorgehen. Aus \(2^n > n+2 \) folgt nach Multiplikation mit 2 die folgende Abschätzung;: \( 2^{n+1} > 2(n+2) > (n+1)+2 \), was zu beweisen war.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 6.14K

 
Vielen Dank :) -Muss ich mir noch genauer anschauen :) Bezüglich höherer Mathematik - weiß nicht, ob Fremdwerbung erlaubt ist. Oftmals scheitert es ja nicht an der Intelligenz, sondern daran, dass man durch falsche Annahmen, stundenlang an einem Beispiel sitzt und dann die Zeit nicht mehr hat, sich anderen Themen zu widmen.. diesbezüglich kennen Sie ein Forum, dass sich intensiver mit der höheren Mathematik beschäftigt (bitte auch gerne privat), mathefragen.de ist ja eher auf Schulmathematik ausgerichtet ? Vielen Dank schon mal :)   ─   infomarvin 05.10.2020 um 18:55
Was ich nur nicht verstehe, warum wird mit 2 multipliziert? $$2^{n+1}$$ ist die Basis, den daraussresultierenden niedrigsten Wert n = 0 darf man nicht einsetzen, ebenso 1, und 2 ist äquivalent.
Erster Wert ist daher 3. Jetzt ist doch die Überlegung wie änder ich die Formel ab, damit ich jeden Wert einsetzen darf, sodass die Annahme stimmt? Und genau da komm ich überhaupt nicht mit, warum Multiplikation mit 2 ? warum nicht einfach
1. n + 1 (also aufs nächste Element schließend)
2. Damit 2^(n+ 1 ) = 2 (n+ 2), hier kann man aber wieder n = 0 einsetzen und die Annahme ist falsch? Und den Schritt, den ich am wenigsten verstehe
$$2(n+2)(klar) > n + 4 > (n +1) +2 $$
Wie kommt man von 2 (n + 2 ) auf n + 4 => ausmultiplizieren=> 2n + 4 (soweit verstehe ich es) und dann n + 4 (versteh schon, dass ist die Hälfte der vorigen Zahl, aber weshalb der Schritt) >= (n + 1 ) + 2 (hier verstehe ich die Umformung und den Sinn nicht)
Hoffe und bitte dich, dass du mir da noch helfen kannst, ist die Logikschranke einmal durchdrungen (stehe ziemlich am Anfang), sollte wiederrum anderes auch leichter fallen, danke schon mal : )   ─   infomarvin 05.10.2020 um 20:20
Ok danke :) Wenn ich viel nicht habe - aber ehrgeizig bin ich, deswegen wär es für mich nicht gerade gut, im 1. Studienjahr durchzufliegen - deshalb die Vorbereitung, könnten Sie mir ev. noch einmal kurz erklären wie es zu diesen schemantischen Schlüssen kommt, klar n + 1 + 2 ist genau der Fall 3, aber 2^(n+1) eben nicht , das wird aber in keinster Weise dann nocheinmal miteinbezogen, sondern nur 2n + 4, mit dem dann weitere Umformungen vollzogen werden, deren Sinn ich leider überhaupt nicht verstehe, Danke :-) (pps.: kann Sie aus irgendeinem Grund nicht bewerten, gibt es dafür eine maximal vorgesehen Menge, habe schon zwei Matheexperten bewertet )   ─   infomarvin 05.10.2020 um 22:04
1 Tag bzw. 2,3 Stunden vollständige Induktion und traue mich zu behaupten, dass es nunmehr schon um einiges besser funktioniert, ev. nicht jede Ausnahmeregel usw. bekannt, aber um das geht es ja nicht. Klar, wenn man sich nur in die VO setzt (wenn überhaupt) und nicht selbstambitioniert versucht, bei Unverständnis entweder jemanden zu fragen, oder das Internet zu konsultieren, dann wird das Studium annähernd unschaffbar. Hab ich das so richtig verstanden, bei den Induktionen kommt es schlussendlich darauf an, durch algebraische Umformungen im Ibeweis zu beweisen, dass die Induktionsvoraussetzung gilt. Da ist das einzige, was für mich noch offen bleibt: man beweist immer n + 1 , hatte bei Teilbarkeit das Gefühl, dass die Lösung sich so zusammengesetzt hat: n (Teilbar) aber ohne n + 1 (in der Voraussetzung ) und ein zweiter Teil, deren Betrag ein Vielfaches der zu teilenden Zahl darstellen sollte. Aber weitere Übungen werden folgen ... :) Aufjedenfall vielen, vielen Dank :)   ─   infomarvin 06.10.2020 um 21:20

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.