Bildet die Menge F zusammen mit der Verkettung von Funktionen eine Gruppe?

Aufrufe: 666     Aktiv: 08.05.2020 um 08:47
0

Aufgabe:
Die Menge F aller reellen Polynomfunktionen 1. Grades über den reellen Zahlen,
also die Funktionen der Form
x → a1 x + a0 mit a1 =/= 0..
Bildet die Menge F zusammen mit der Verkettung von Funktionen eine Gruppe?

Bei solchen Aufgaben muss man ja auch die Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und inverse Elemente und die Abgeschlossenheit nachweisen.


Aber wie macht man das bei solchen Polynomfunktionen?
Wenn man es verkettet ist es dann so, dass man eine zweite Polynomfunktion aus F z.B. a3 x + a2 hat?

Und dann verkettet man diese mit der ersten so: a1 (a3 x + a2)+ a0 = a1*a3 x + a1*a2) + a0 
Und weil a1 =/= 0 ist auch a1a3 nicht 0 sondern muss ein Polynom ersten Grades sein. Ist es deswegen abgeschlossen?

In den Lösungen steht, dass 1*x + 0, dass neutrale Element ist, aber ich verstehe nicht wirklich warum?

Oder auch warum das Inverse Element (1/a1)x - a0/a1 ist. Ich verstehe warum das Inverse von a1x = 1/a1 ist, aber nicht den letzteren Teil.

Und wie kann man die Assoziatitvität hier aufzeigen?

 

Vielen dank schonmal im Voraus

 

 

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 16

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

\(1\cdot x + 0\) ist das neutrale Element, weil es als Abbildung die Identität ist. Wenn du eine andere Funktion mit dieser verkettest, dann setzt du x für x ein. Es ändert sich also nichts.

Das Inverse hat erstmal nichts mit dem Kehrwert zu tun, sondern ist die Umkehrfunktion. Wenn du die Funktion \(f(x) = ax + b\) hast, und \(f^*(x) = cx +d\) eine Inverse sein soll, dann muss \(f(g(x)) = x\) gelten, also \(a(cx+d) + b = x\). Das führt auf \(ac = 1\) und \(ad+b = 0\), also \(c = \frac1a\) und \(d = -\frac ba\).

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Okay das mit dem neutralen Element leuchtet mir ein und bei dem Inversen verstehe ich auch, warum ac=1 ist, weil man ja am Anfang sagt, das a1 =/= 0. Aber wieso ist ad + b =0?   ─   ilililian 07.05.2020 um 23:56
Weil \(a(cx+d) + b = x\) gelten muss. Wenn du das ausmultiplizierst, kommst du auf \(acx +ad +b = 1x+0\). Durch Koeffizientenvergleich kommst du auf `ac = 1` und `ad + b = 0`.   ─   digamma 08.05.2020 um 00:02
Ah okay. Ich wusste nicht, dass sowas geht ^^. aber macht Sinn, dass die Variabeln verknüpft mit x den gleichen Koeffizienten wie auf das Element auf der rechten Seite verknüpft mit x haben muss. Und das gleiche für die 'losen' Zahlen.
Das heißt man kann das z.B auch bei ax^2 + bx + c = 2x^2 + 1x + 0, so einfach ablesen?
Also, dass (bei meinem ausgedachten Beispiel, jetzt), a=2, b=1 und c=0 ist.   ─   ilililian 08.05.2020 um 00:08
Ja.   ─   digamma 08.05.2020 um 00:09
Okay vielen dank! Das hat echt geholfen. Und ich glaube ich hab das mit der Abgeschlossenheit auch verstanden.

Wenn wir ax+b mit cx+d verketten erhalten wir ja:

a(cx+d ) +b = acx + ad+b und weil ac nicht 0 ist, bekommen wir immer wieder ein Polynom mit Grad 1.

   ─   ilililian 08.05.2020 um 00:14
Richtig.   ─   digamma 08.05.2020 um 08:47

Kommentar schreiben