Ist dies ein Erzeugendensystem? Frage zur schreibweise

Aufrufe: 693     Aktiv: 06.05.2020 um 20:12
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Frage:

 Ist {3v1,−4v2,2v3,−5v4} ein Erzeugendensystem von R^3? 

Ich weiß die Antwort bereits: Ja, es ist ein Erzeugendensystem da ich mit diesen Vektoren jeden anderen beliebigen Vektor in R^3 darstellen kann/ erzeugen kann. Meine Frage ist aber: wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf? Wie lässt sich dies mathematisch beweisen?

Danke im voraus

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Student, Punkte: 28

 
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1 Antwort
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Wenn \( \{3v_1, -4v_2, 2v_3, -5v_4 \}\) für beliebige Vektoren \(v_1, \dots, v_4 \in \mathbb{R}^3\) gemeint ist, dann ist das im Allgemeinen kein Erzeugendensystem von \(\mathbb{R}^3\). Wähle beispielsweise \(v_1 = \dots = v_4 = (1,0,0)\). Dann lässt sich der Vektor \((0,0,1)\) nicht aus Linearkombinationen der obigen Menge erzeugen.

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Student, Punkte: 7.02K

 
Das.... ist zwar richtig aber ich sehe gerade das ich einen bösen Fehler gemacht habe. Ich habe nicht alle gegebenen Daten hier angegeben (habe ich im Eifer des Gefechts vergessen hier darzulegen ^^) und zwar:

v1 = (0, 1, 1); v2=(1, 0, 1) ; v3=(1, 1, 0 ) ; v4=(1, 1, 1)   ─   anonymf3c8c 06.05.2020 um 19:42
Okay, also dann musst du dir jetzt einen beliebigen Vektor vorgeben und versuchen, ihn als Linearkombination der Elemente aus der Menge darzustellen. Das führt dich dann auf ein lineares Gleichungssystem, von dem du dann zeigen musst, dass es lösbar ist.   ─   42 06.05.2020 um 20:12

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