Relative Extrema & Satellpunkte mehrdim. Funktionen + Nullstellen mehrdim. LGS

Aufrufe: 334     Aktiv: 10.07.2022 um 12:33
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Hi,
ich soll die Fkt. f(x,y) = x^3+y^3 +3xy auf relative Extrema sowie auf Sattelpunkte untersuchen.

Hierfür habe ich zuerst die partiellen Ableitungen gebildet.

I.) fx =3x^3+3y 
II.) fy=3y^2+3x

Diese wollte ich nun Nullsetzen:

I.) 3x^2+3y=0
3(x^2+y) = 0

Hier lässt sich direkt erkennen, dass durch x=y= 0, die Gleichung für 0 gelöst wird.

Dadurch hätte ich bereits einen Punkt(0/0).
Laut der Lösung ergibt sich jedoch ein weiterer Punkt. Wie würde ich das wissen, ohne zB die Lösung zu kennen?

Entsprechend wollte ich dann weiter verfahren und habe so gerechnet:

3(x^2+y) = 0 / :3
x^2+y = 0 /-y
x^2 =-y / : (-^)
-x^2 =y

Dann habe ich y in II) einsetzen wollen:

II) 3*(-x^2)^2 +3x = 0
3x^2+3x = 0
Hier erkenne ich, dass durch x=-1 die Funktion 0 ergibt. Gibt es einen Vorgang, wie man darauf kommt, wenn man sowas nicht direkt sieht?

Danke schon mal!
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2 Antworten
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Dein Vorgehen ist doch okay. Den Faktor 3 kürzt man am besten gleich weg.
Und beim Einsetzen am Ende entsteht $x^4+x=0$. Da muss man auch erstmal nichts direkt sehen, das Zauberwort heißt "faktorisieren". Grundsätzlich dividieren vermeiden, weil das Fallunterscheidungen nach sich zieht. Also faktorisieren und dann die Regel "ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist" anwenden. Das durcharbeiten bis alle Faktoren abgeklopft sind. Dann ist man auch sicher nichts vergessen zu haben.
Ein Standardvorgehen gibt es hier nicht, denn bei solchen Aufgaben entstehen normalerweise eben nicht LGS, sondern NLGS (nichtlineare). Daher ist das Auflösen weitgehend Übungssache.
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Besten Dank für die Antwort!

Wären also die weiteren folgenden Schritte korrekt:

x^4+x = 0
x(x^3+1) = 0
Damit hätten wir ein x=0

x^3+1 =0/-1
x^3=-1 / 3sqrt(-1)
x= -1

   ─   kunstformen 10.07.2022 um 12:26

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Man muss meistens LGS richtig lösen für kritische Punkte, aber die LGS sind dann alle immer sehr einfach,  so wie hier. In typischen Aufgaben ist immer linearer Term und man kann einsetzen in andere Gleichung oder man kann Gleichungen addieren.
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