C^1 Rand Beweis

Aufrufe: 292     Aktiv: 09.11.2023 um 00:46

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Hallo:)
ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe. Ich verstehe nicht, wie man auf diese Funktion kommt (siehe Definition C1 Rand), die aus den offenen Umgebungen des Randes abbildet. 

zusätzlich ist mir explizit auf die Aufgabe bezogen nicht klar, was hier überhaupt der Rand sein soll. ich würde sagen Omega ist ein Kreissegment mit 2 Rändern einmal ||x||=1 und ||x||=2.

über Hilfe wäre ich sehr dankbar 

EDIT vom 07.11.2023 um 02:16:

hier meine Lösung. Ich bin mir nur noch unsicher, ob auch zu beweisen ist, dass Omega ein Gebiet ist(Siehe Definition oben), also dass eine Kurve Gamma existiert

 

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\(\Omega\) ist ein KreisRING und kein Kreissegment - aber egal.

Ja, \(\partial \Omega\) besteht aus den zwei Kreislinien \(\partial \Omega_1 = \{x\in\mathbb{R}^2;\,\|x\|=1\}\) und \(\partial \Omega_2 = \{x\in\mathbb{R}^2;\,\|x\|=2\}\).

Man kann es sich bei dieser Aufgabe einfach machen, indem man für alle \(x\in \partial \Omega\) dasselbe U und dasselbe g nimmt.
Für U nimmt man immer \(U=\mathbb{R}^2\).
g wählt man so, dass \(\Omega=\{x\in\mathbb{R};\,g(x)>0\}\). Denn dann ist, wie gewünscht, \(\Omega \cap U = \Omega = \{x\in\mathbb{R}^2;\,g(x)>0\} = \{x\in U;\,g(x)>0\}\).

Es liegt nahe, g so zu wählen, dass es nur von \(\|x\|\) abhängt: \(g(x) = p(\|x\|)\).

Nun muss aber g stetig differenzierbar sein, was es nicht ist, denn die Funktion \(x\rightarrow \|x\|\) ist im Nullpunkt nicht stetig differenzierbar.
Die Funktion \(x\rightarrow \|x\|^2\) ist es aber schon.
Also wähle \(g(x) = p(\|x\|^2)\;\;\;\; (1)\).
Nun muss p stetig differenzierbar sein, zwischen 1 und 4 positiv und ansonsten negativ sein. Ich denke, hier lässt sich ein geeignetes Polynom finden.

g gemäß (1) mit diesem liefert die Lösung. Falls Du noch Fragen hast, bitte nochmal melden.
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Die Differenzierbarkeit hängt von der Norm ab, es gibt auch Normen, die auch quadriert nicht diffbar sind. Und dann ist das Gebiet auch kein Kreisring.
Die Information zur Norm fehlt hier. Wenn es um die 2-Norm geht, die ist diffbar außerhalb des Nullpunkts und kann direkt (unquadriert) in g verwendet werden, denn wir sind ja weg vom Nullpunkt und brauchen g nur lokal auf dem Rand. Rechnerisch mag es quadriert einfacher sein (keine Wurzeln).
  ─   mikn 06.11.2023 um 13:30

Mit \(\|.\|\) meine ich immer die euklidische Norm, und ich gehe stark davon aus, dass in der Frage mit \(\|.\|\) auch immer die euklidische Norm gemeint ist. Also:
\(\left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right) \right\|= \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\).
  ─   m.simon.539 07.11.2023 um 00:28

Vielen Dank für die Antwort!! das hat mir sehr weiter geholfen. Mir ist bloß noch ein bisschen unklar wie man U wählt bzw was das R^2 bedeuten soll, also wie das genau eine offene Umgebung darstellt. Und auch verstehe ich nicht ganz warum p zwischen 1 und 4 positiv und sonst negativ sein soll.   ─   juliusdadas 07.11.2023 um 00:37

Sorry, beim "\(R^2\)" habe ich mich verschrieben - es muss \(\mathbb{R}^2\) heißen. Habe den Fehler korrigiert.

Wenn p zwischen 1 und 4 positiv ist, und sonst nicht, dann gilt:
\( p(\|x\|^2) > 0\;\Leftrightarrow\;1<\|x\|^2<4\).
Da die Norm nie negativ ist, folgt: \(g(x) > 0\;\Leftrightarrow\;1<\|x\|<2\).
Wegen der Defintion von \(\Omega\) folgt: \(g(x) > 0\;\Leftrightarrow\;x\in \Omega\).
Anders ausgedrückt: \(\Omega = \{x\in\mathbb{R}^2;\;g(x)>0\}\).


  ─   m.simon.539 07.11.2023 um 01:02

vielen vielen Dank:)Jetzt hab ich es glaube ich wirklich verstanden. Ich habe mal das zur Frage oben hinzugefügt, wie ich es jetzt gemacht hätte   ─   juliusdadas 07.11.2023 um 02:10

Ich denke, Du muss hier noch zeigen, dass \(\Omega\) ein Gebiet ist.
Eine solche Kurve \(\gamma\), die von x nach y führt, findet man am besten über die Polarkoordinaten:
Seien \((r_x, \phi_x)\) die Polarkoordinaten von x,
Seien \((r_y, \phi_y)\) die Polarkoordinaten von y,
Dann baut man sich eine Kurve \(\hat \gamma\), die von \((r_x, \phi_x)\) nach \((r_y, \phi_y)\) führt:
\(\beta(t) = (1-t) (r_x, \phi_x)+t(r_y, \phi_y)\)
Dann ist \(\gamma(t) = K(\beta(t))\), wobei K von Polarkoordinaten in karteische Koordinaten umrechnet: \(K(r,\phi) = (r \cos(\phi), r \sin(\phi))\).

Ansonsten ist die Rechnung richtig.
  ─   m.simon.539 09.11.2023 um 00:46

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