Hallo:)
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\(\Omega\) ist ein KreisRING und kein Kreissegment - aber egal.
Ja, \(\partial \Omega\) besteht aus den zwei Kreislinien \(\partial \Omega_1 = \{x\in\mathbb{R}^2;\,\|x\|=1\}\) und \(\partial \Omega_2 = \{x\in\mathbb{R}^2;\,\|x\|=2\}\).
Man kann es sich bei dieser Aufgabe einfach machen, indem man für alle \(x\in \partial \Omega\) dasselbe U und dasselbe g nimmt.
Für U nimmt man immer \(U=\mathbb{R}^2\).
g wählt man so, dass \(\Omega=\{x\in\mathbb{R};\,g(x)>0\}\). Denn dann ist, wie gewünscht, \(\Omega \cap U = \Omega = \{x\in\mathbb{R}^2;\,g(x)>0\} = \{x\in U;\,g(x)>0\}\).
Es liegt nahe, g so zu wählen, dass es nur von \(\|x\|\) abhängt: \(g(x) = p(\|x\|)\).
Nun muss aber g stetig differenzierbar sein, was es nicht ist, denn die Funktion \(x\rightarrow \|x\|\) ist im Nullpunkt nicht stetig differenzierbar.
Die Funktion \(x\rightarrow \|x\|^2\) ist es aber schon.
Also wähle \(g(x) = p(\|x\|^2)\;\;\;\; (1)\).
Nun muss p stetig differenzierbar sein, zwischen 1 und 4 positiv und ansonsten negativ sein. Ich denke, hier lässt sich ein geeignetes Polynom finden.
g gemäß (1) mit diesem liefert die Lösung. Falls Du noch Fragen hast, bitte nochmal melden.
Ja, \(\partial \Omega\) besteht aus den zwei Kreislinien \(\partial \Omega_1 = \{x\in\mathbb{R}^2;\,\|x\|=1\}\) und \(\partial \Omega_2 = \{x\in\mathbb{R}^2;\,\|x\|=2\}\).
Man kann es sich bei dieser Aufgabe einfach machen, indem man für alle \(x\in \partial \Omega\) dasselbe U und dasselbe g nimmt.
Für U nimmt man immer \(U=\mathbb{R}^2\).
g wählt man so, dass \(\Omega=\{x\in\mathbb{R};\,g(x)>0\}\). Denn dann ist, wie gewünscht, \(\Omega \cap U = \Omega = \{x\in\mathbb{R}^2;\,g(x)>0\} = \{x\in U;\,g(x)>0\}\).
Es liegt nahe, g so zu wählen, dass es nur von \(\|x\|\) abhängt: \(g(x) = p(\|x\|)\).
Nun muss aber g stetig differenzierbar sein, was es nicht ist, denn die Funktion \(x\rightarrow \|x\|\) ist im Nullpunkt nicht stetig differenzierbar.
Die Funktion \(x\rightarrow \|x\|^2\) ist es aber schon.
Also wähle \(g(x) = p(\|x\|^2)\;\;\;\; (1)\).
Nun muss p stetig differenzierbar sein, zwischen 1 und 4 positiv und ansonsten negativ sein. Ich denke, hier lässt sich ein geeignetes Polynom finden.
g gemäß (1) mit diesem liefert die Lösung. Falls Du noch Fragen hast, bitte nochmal melden.
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m.simon.539
Punkte: 1.05K
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Mit \(\|.\|\) meine ich immer die euklidische Norm, und ich gehe stark davon aus, dass in der Frage mit \(\|.\|\) auch immer die euklidische Norm gemeint ist. Also:
\(\left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right) \right\|= \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\). ─ m.simon.539 07.11.2023 um 00:28
\(\left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right) \right\|= \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\). ─ m.simon.539 07.11.2023 um 00:28
Vielen Dank für die Antwort!! das hat mir sehr weiter geholfen. Mir ist bloß noch ein bisschen unklar wie man U wählt bzw was das R^2 bedeuten soll, also wie das genau eine offene Umgebung darstellt. Und auch verstehe ich nicht ganz warum p zwischen 1 und 4 positiv und sonst negativ sein soll.
─
juliusdadas
07.11.2023 um 00:37
Sorry, beim "\(R^2\)" habe ich mich verschrieben - es muss \(\mathbb{R}^2\) heißen. Habe den Fehler korrigiert.
Wenn p zwischen 1 und 4 positiv ist, und sonst nicht, dann gilt:
\( p(\|x\|^2) > 0\;\Leftrightarrow\;1<\|x\|^2<4\).
Da die Norm nie negativ ist, folgt: \(g(x) > 0\;\Leftrightarrow\;1<\|x\|<2\).
Wegen der Defintion von \(\Omega\) folgt: \(g(x) > 0\;\Leftrightarrow\;x\in \Omega\).
Anders ausgedrückt: \(\Omega = \{x\in\mathbb{R}^2;\;g(x)>0\}\).
─ m.simon.539 07.11.2023 um 01:02
Wenn p zwischen 1 und 4 positiv ist, und sonst nicht, dann gilt:
\( p(\|x\|^2) > 0\;\Leftrightarrow\;1<\|x\|^2<4\).
Da die Norm nie negativ ist, folgt: \(g(x) > 0\;\Leftrightarrow\;1<\|x\|<2\).
Wegen der Defintion von \(\Omega\) folgt: \(g(x) > 0\;\Leftrightarrow\;x\in \Omega\).
Anders ausgedrückt: \(\Omega = \{x\in\mathbb{R}^2;\;g(x)>0\}\).
─ m.simon.539 07.11.2023 um 01:02
vielen vielen Dank:)Jetzt hab ich es glaube ich wirklich verstanden. Ich habe mal das zur Frage oben hinzugefügt, wie ich es jetzt gemacht hätte
─
juliusdadas
07.11.2023 um 02:10
Ich denke, Du muss hier noch zeigen, dass \(\Omega\) ein Gebiet ist.
Eine solche Kurve \(\gamma\), die von x nach y führt, findet man am besten über die Polarkoordinaten:
Seien \((r_x, \phi_x)\) die Polarkoordinaten von x,
Seien \((r_y, \phi_y)\) die Polarkoordinaten von y,
Dann baut man sich eine Kurve \(\hat \gamma\), die von \((r_x, \phi_x)\) nach \((r_y, \phi_y)\) führt:
\(\beta(t) = (1-t) (r_x, \phi_x)+t(r_y, \phi_y)\)
Dann ist \(\gamma(t) = K(\beta(t))\), wobei K von Polarkoordinaten in karteische Koordinaten umrechnet: \(K(r,\phi) = (r \cos(\phi), r \sin(\phi))\).
Ansonsten ist die Rechnung richtig. ─ m.simon.539 09.11.2023 um 00:46
Eine solche Kurve \(\gamma\), die von x nach y führt, findet man am besten über die Polarkoordinaten:
Seien \((r_x, \phi_x)\) die Polarkoordinaten von x,
Seien \((r_y, \phi_y)\) die Polarkoordinaten von y,
Dann baut man sich eine Kurve \(\hat \gamma\), die von \((r_x, \phi_x)\) nach \((r_y, \phi_y)\) führt:
\(\beta(t) = (1-t) (r_x, \phi_x)+t(r_y, \phi_y)\)
Dann ist \(\gamma(t) = K(\beta(t))\), wobei K von Polarkoordinaten in karteische Koordinaten umrechnet: \(K(r,\phi) = (r \cos(\phi), r \sin(\phi))\).
Ansonsten ist die Rechnung richtig. ─ m.simon.539 09.11.2023 um 00:46
Die Information zur Norm fehlt hier. Wenn es um die 2-Norm geht, die ist diffbar außerhalb des Nullpunkts und kann direkt (unquadriert) in g verwendet werden, denn wir sind ja weg vom Nullpunkt und brauchen g nur lokal auf dem Rand. Rechnerisch mag es quadriert einfacher sein (keine Wurzeln). ─ mikn 06.11.2023 um 13:30