Offene bzw. abgeschlossene Intervalle sind einfach das $1$-dimensionale Analogon zu offenen/abgeschlossenen Scheiben (in der Ebene) oder offenen/abgeschlossenen Kugeln (im Raum).

Etwas konkreter: Eine abgeschlossene Kugel $B$ ist per Definition nichts anderes als die Menge aller Punkte deren Abstand vom Mittelpunkt $x\in B$ höchstens $1$ beträgt, d.h. $$B = \{y\in M\mid d(y,x) \le1\}$$ wobei $M$ ein beliebiger metrischer Raum ist.

Beachte: Man kann jeden beliebigen endlichen positiven Radius $r$ wählen, bis auf Isometrie wird dasselbe Objekt beschrieben. Ich hab einfach die Einheitskugel gewählt.

Ist nun $M = \mathbb R$, so überträgt sich die Situation einer abeschlossenen (Einheits)Kugel in $\mathbb R$ bzgl. der Standardnorm $\vert \cdot \vert$ auf $\mathbb R$ zu $$ B= \{y \in \mathbb R\mid \vert y-x\vert \le 1\} = [x-1,x+1]$$

Mit anderen Worten: Eine abgeschlossene Kugel in Dimension $1$ ist nichts anderes als ein abgeschlossenes Intervall. Analog für offene Kugeln.