Es geht um offene und abgeschlossene Mengen

Aufrufe: 82     Aktiv: 08.05.2022 um 06:28

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Wenn von offenen und abgeschlossenen Mengen geredet wird, dann werden immer Kugeln oder Bälle zur Erklärung genommen. Meine Frage hierzu, ist den mit offenen bzw. geschlossenen Intervallen nicht dasselbe beschrieben. MIr ist nicht klar, warum man hierbei immer auf Bälle bzw. Kugeln zurückgreift.
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Offene bzw. abgeschlossene Intervalle sind einfach das $1$-dimensionale Analogon zu offenen/abgeschlossenen Scheiben (in der Ebene) oder offenen/abgeschlossenen Kugeln (im Raum).

Etwas konkreter: Eine abgeschlossene Kugel $B$ ist per Definition nichts anderes als die Menge aller Punkte deren Abstand vom Mittelpunkt $x\in B$ höchstens $1$ beträgt, d.h. $$B = \{y\in M\mid d(y,x) \le1\}$$ wobei $M$ ein beliebiger metrischer Raum ist.

Beachte: Man kann jeden beliebigen endlichen positiven Radius $r$ wählen, bis auf Isometrie wird dasselbe Objekt beschrieben. Ich hab einfach die Einheitskugel gewählt.

Ist nun $M = \mathbb R$, so überträgt sich die Situation einer abeschlossenen (Einheits)Kugel in $\mathbb R$ bzgl. der Standardnorm $\vert \cdot \vert$ auf $\mathbb R$ zu $$ B= \{y \in \mathbb R\mid \vert y-x\vert \le 1\} = [x-1,x+1]$$

Mit anderen Worten: Eine abgeschlossene Kugel in Dimension $1$ ist nichts anderes als ein abgeschlossenes Intervall. Analog für offene Kugeln.

 

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