Geometrische Verteilung + Bedingte WS

Aufrufe: 47     Aktiv: 02.07.2021 um 14:15

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Hallo zusammen,

Verstehe folgendes nicht. Ist es die geometrische Verteilung und wie verwende ich die mit der bedingte WS an? Stimmt meine Berechnung? Als Resultat sollte es für loss und X=3 -> 1/3 geben. Aber ich erhalte 3? Was mache ich falsch?

In the game of craps, two fair six-sided dice are rolled and their scores added. If the sum
of the scores equals 2, 3, or 12 the roller loses, if this sum equals 7 or 11 the roller wins, and if this sum
equals any other number, the dice are rolled again.

1. What is the distribution of the total number of rolls X until the game ends (i.e., the roller wins or loses)?

If we observe X = 3, what is the probability that the roller lost?

1. Hierbei handelt sich um eine geometrische Verteilung oder? Da man auf einen Gewinn oder Verlust wartet.
Pr(X=x) = p(1-p)^x-1

Da ich nicht weiss was die Wahrscheinlich für Gewinn und Verlust ist, muss ich es noch herausfinden.

p = Pr(S element | 2,3,7,11,12) = 1/36 + 2/36 + 2/36 + 1/36 = 1/3

plost = Pr(S element | 2,3,12) = 1/36 + 2/36 + 1/36 = 4/36 = 1/9


If we observe X = 3, what is the probability that the roller lost?
X = 3  -> 1+2 oder 2 + 1 -> 2/36 = 1/18

Dazu brauch ich die bedingte WS: 

Pr(loss | X = 3) = (loss intersect X = 3) / X=3
                         = (1/9 + 1/18) / 1/18 
                         =3









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Hallo,

ich denke auch dass die geometrische Verteilung hier die optimale Wahl ist. 

Nun liegt denke ich dein Denkfehler darin, dass $x$ nicht für die Augenanzahl der Würfel steht, sondern für die Anzahl der Würfe die getätigt wurden. Also

$$ P(X=3) = \frac 1 3 \cdot \left( \frac 2 3 \right)^{3-1} = \frac 4 {27} $$

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit bin ich mir etwas unsicher, aber ich würde sagen ist $A$ das Ereignis, dass das Spiel vorbei ist und $B$ das Ereignis, dass der Spieler verliert, dann ist ja $B \subset A$. Daraus sollte folgen
$$ P(A \cap B) = P(B)$$

Dann ist also

$$ P(B|A) = \frac {P(A \cap B)} {P(A)} = \frac {P(B)} {P(A)} = \frac {\frac 19} {\frac 13} = \frac 13  $$

Was meinst du dazu?
Grüße Christian
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Vielen Dank für deine Antwort. Stimmt! die Formel für die geometrische Verteilung ist ja p(1-p)^n-1. Achso mit Anzahl der Würfe getätigt meinst du, damit die Augensumme (2,3,12) welche zum Verlust führen? Deswegen X =3?

Bin mir bei der WS nicht sicher, hab dort noch meine Probleme. Warum ist P(A geschnitten B) = P(B)? Weil wir schon wissen, dass X=3 auch die Zahl für den Verlust ist, können wir die Wahrscheinlichkeit nehmen?
  ─   sayuri 01.07.2021 um 20:32

Die geometrische Verteilung beschreibt ja einen Zufallsprozess, der zwischen Erfolg und Misserfolg unterscheidet und aufhört sobald der Erfolg eintritt. $X=3$ bedeutet. dass nach 3 Durchläufen eine $2,3,7,11$ oder $12$ gewürfelt wurde. Das Spiel ist nach 3 Würfen also beendet. Die ersten beiden Würfe waren Element aus $\{ 4,5,6,8,9,10\}$, weil damit keiner verliert oder gewinnt.

Das Ereignis $A$ beschreibt, dass das Spiel beendet wird, also ist
$$ A = \{ 2,3,7,11,12\}$$
Das Ereignis Verlust,also $B$ ist dann
$$ B = \{ 2,3,12 \} $$
daran erkennt man sofort
$$ A \cap B = B $$
denn im Schnitt liegen ja gerade die Elemente die in beiden Mengen vorkommen. Da $B$ Teilmenge von $A$ ist, kommt jedes Element von $B$ in $A$ vor, aber nicht mehr. Deshalb ist der Schnitt genau $B$.
und damit dann auch
$$ P(A \cap B) = P(B) $$
  ─   christian_strack 02.07.2021 um 02:08

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Danke dir! Habs nun verstanden!!! :)   ─   sayuri 02.07.2021 um 10:02

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Perfekt. Das freut mich zu hören. Sehr gerne :)   ─   christian_strack 02.07.2021 um 14:15

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