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Geometrische Verteilung + Bedingte WS

Aufrufe: 609 Aktiv: 02.07.2021 um 14:15

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Hallo zusammen,

Verstehe folgendes nicht. Ist es die geometrische Verteilung und wie verwende ich die mit der bedingte WS an? Stimmt meine Berechnung? Als Resultat sollte es für loss und X=3 -> 1/3 geben. Aber ich erhalte 3? Was mache ich falsch?

In the game of craps, two fair six-sided dice are rolled and their scores added. If the sum

of the scores equals 2, 3, or 12 the roller loses, if this sum equals 7 or 11 the roller wins, and if this sum

equals any other number, the dice are rolled again.

1. What is the distribution of the total number of rolls X until the game ends (i.e., the roller wins or loses)?

If we observe X = 3, what is the probability that the roller lost?

1. Hierbei handelt sich um eine geometrische Verteilung oder? Da man auf einen Gewinn oder Verlust wartet.
Pr(X=x) = p(1-p)^x-1

Da ich nicht weiss was die Wahrscheinlich für Gewinn und Verlust ist, muss ich es noch herausfinden.

p = Pr(S element | 2,3,7,11,12) = 1/36 + 2/36 + 2/36 + 1/36 = 1/3

plost = Pr(S element | 2,3,12) = 1/36 + 2/36 + 1/36 = 4/36 = 1/9

If we observe X = 3, what is the probability that the roller lost?
X = 3 -> 1+2 oder 2 + 1 -> 2/36 = 1/18

Dazu brauch ich die bedingte WS:

Pr(loss | X = 3) = (loss intersect X = 3) / X=3
= (1/9 + 1/18) / 1/18
=3

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gefragt 01.07.2021 um 12:02

sayuri
Student, Punkte: 205

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1 Antwort

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christian_strack · Accepted Answer · 2021-07-01T15:51:14Z

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Hallo,

ich denke auch dass die geometrische Verteilung hier die optimale Wahl ist.

Nun liegt denke ich dein Denkfehler darin, dass

$x$ nicht für die Augenanzahl der Würfel steht, sondern für die Anzahl der Würfe die getätigt wurden. Also

$P(X=3) = \frac 1 3 \cdot \left( \frac 2 3 \right)^{3-1} = \frac 4 {27}$

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit bin ich mir etwas unsicher, aber ich würde sagen ist

$A$ das Ereignis, dass das Spiel vorbei ist und

$B$ das Ereignis, dass der Spieler verliert, dann ist ja

$B \subset A$ . Daraus sollte folgen

$P(A \cap B) = P(B)$

Dann ist also

$P(B|A) = \frac {P(A \cap B)} {P(A)} = \frac {P(B)} {P(A)} = \frac {\frac 19} {\frac 13} = \frac 13$

Was meinst du dazu?
Grüße Christian

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geantwortet 01.07.2021 um 15:51

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Vielen Dank für deine Antwort. Stimmt! die Formel für die geometrische Verteilung ist ja p(1-p)^n-1. Achso mit Anzahl der Würfe getätigt meinst du, damit die Augensumme (2,3,12) welche zum Verlust führen? Deswegen X =3?

Bin mir bei der WS nicht sicher, hab dort noch meine Probleme. Warum ist P(A geschnitten B) = P(B)? Weil wir schon wissen, dass X=3 auch die Zahl für den Verlust ist, können wir die Wahrscheinlichkeit nehmen? ─ sayuri 01.07.2021 um 20:32

Die geometrische Verteilung beschreibt ja einen Zufallsprozess, der zwischen Erfolg und Misserfolg unterscheidet und aufhört sobald der Erfolg eintritt.

$X=3$ bedeutet. dass nach 3 Durchläufen eine

$2,3,7,11$ oder

$12$ gewürfelt wurde. Das Spiel ist nach 3 Würfen also beendet. Die ersten beiden Würfe waren Element aus

$\{ 4,5,6,8,9,10\}$ , weil damit keiner verliert oder gewinnt.

Das Ereignis

$A$ beschreibt, dass das Spiel beendet wird, also ist

$A = \{ 2,3,7,11,12\}$
Das Ereignis Verlust,also

$B$ ist dann

$B = \{ 2,3,12 \}$
daran erkennt man sofort

$A \cap B = B$
denn im Schnitt liegen ja gerade die Elemente die in beiden Mengen vorkommen. Da

$B$ Teilmenge von

$A$ ist, kommt jedes Element von

$B$ in

$A$ vor, aber nicht mehr. Deshalb ist der Schnitt genau

$B$ .
und damit dann auch

$P(A \cap B) = P(B)$ ─ christian_strack 02.07.2021 um 02:08

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Danke dir! Habs nun verstanden!!! :) ─ sayuri 02.07.2021 um 10:02

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Perfekt. Das freut mich zu hören. Sehr gerne :) ─ christian_strack 02.07.2021 um 14:15

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