Taylorpolynom einer polynomfunktion erstellen

Aufrufe: 67     Aktiv: 01.06.2021 um 13:38

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Wie füge ich die Funktion f(x) =3x ^3+2x^2 - 4 bzw. deren Ableitungen in ein Taylor Polynom ein um dann z. B. den Funktionswert der 3.Ordnung zu bekommen. Ich drücke mich vermutlich nicht wirklich korrekt aus aber ich hoffe es ist klar was ich meine.
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2 Antworten
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Hallo

Also das Taylorpolynom n-ter Ordnung von f an der stelle a ist wie folgt definiert \(T_n^a(f)(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}\cdot (x-a)^i+R(x)\)dabei ist \(f^{(i)}(a)\) jeweils die i-te ableitung der Funktion f an der stelle a an der du auswerten möchtest.

In deinem Fall gilt also:

\(n=3\)
\(f(x)=3x^3+2x^2-4\)
(a habe ich nun irgendwie gewählt da ich bei deiner Frage nicht ganz sicher bin
\(a=5\)

So nun musst du also folgendes berechnen:
\(T_3^5(f)(x)=\sum_{i=0}^3\frac{f^{(i)}(5)}{i!}\cdot (x-5)^i+R(x)\)

Das heisst du berechnest für alle \(0\leq i\leq 3\) die Summanden und addierst sie zusammen dann hast du dein Taylorpolynom dritter Ordnung von f an der Stelle 5.

Ich hoffe es ist verständlich
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Ich gehe davon aus, dass das richtig ist, was du erklärt hast. Ich bin allerdings leider noch keinen Schritt weiter gekommen. Um meine Frage vielleicht noch klarer zu stellen. Es geht mir darum, wie ich genau vorgehen muss. Also ich habe die von mir genannte Funktion und möchte das Taylorpolynom der 3.Ordnung herstellen. Dann benötige ich ja die ersten 3 Ableitungen und dann muss ich die Ergebnisse in die Taylor Formel einsetzen. Die Ableitungen sind mir klar, der Rest wie auch die Sache mit dem Restglied nicht.
  ─   atideva 01.06.2021 um 09:32

Also nochmals nehmen wir einen allgemeinen Punkt a an dem du es auswerten möchtest du hast folgendes
\(T_3^a(f)(x)=\sum_{i=0}^3\frac{f^{(i)}(a)}{i!}\cdot (x-a)^i+R(x)\) das kannst du ausschreiben und erhälst \(T_3^a(f)(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+R(x)\) so nun musst du hier die Ableitungen berechnen und einsetzen. Dann für das Restglied gibt es verschiedene Darstellungen, welche kennst du?
  ─   karate 01.06.2021 um 11:10

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Die Taylorreihe eines Polynoms mit Entwicklungspunkt ist das Polynom selbst, da musst du also nichts berechnen. Ansonsten, wenn du z.B. einen anderen Entwicklungspunkt \(x=a\) haben willst, kannst du ganz normal die ersten Ableitungen berechnen. Alternativ kannst du auch wiederholt \(c_k(x-a)^k\) ausklammern, bis das Polynom in der richtigen Form ist. Beantwortet das deine Frage? Ansonsten versuch bitte, sie nochmal konkreter zu formulieren.
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