Satz von Bayes und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufrufe: 62     Aktiv: 13.12.2021 um 17:30

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Moin, ich habe eine Frage zu der unten stehenden Aufgabe, bzw. bin mir bezüglich meines Ergebnis unsicher und freue mich über Hilfe :)

Konkret: Wenn betrachtet werden soll , wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass eine Person mit einem positiven Ergebnis wirklich erkrankt ist, würde ich die bedingte Wahrscheinlichkeit P(erkrankt|Test), d.h. die Wahrscheinlichkeit zu erkranken unter der Bedingung, dass der Test positiv ist, benutzen. Allerdings bekomme ich dort einen Wert von 0,018 raus (z.B. bei Verwendung des Satz von Bayes) und der erscheint mir auf den ersten Blick zu gering.

Vielleicht kennt sich ja jemand hier mit dieser Art von Aufgabenstellungen aus und kann mir kurz Aufschluss geben, danke :)

Hier die originale Aufgabenstellung:
"Eine seltene Krankheit habe eine Prävalenz von 20 Erkrankten auf 100.000

Einwohner. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit a priori, dass eine beliebige Person

erkrankt ist, 0,0002. Damit ist P(K) = 0,0002. K stehe für das Ereignis „Person ist

krank“.

● Für die Krankheit stehe ein Test zur Verfügung, der nicht perfekt ist. Ein positives

Testergebnis sei hier als Ereignis T bezeichnet.

● Es gibt Fälle, in denen der Test eine Erkrankung anzeigt, obwohl die Person gar nicht

erkrankt ist; diese nennt man falsch-positiv. Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch-

positives Ergebnis sei bei diesem Test 1%.

● Dann gibt es Fälle, in denen der Test keine Erkrankung anzeigt, obwohl die getestete

Person erkrankt ist (falsch-negativ). Deren Anteil beträgt hier 5%


Nun unterzieht sich eine Person dem Test und bekommt ein positives Ergebnis. Die

Frage lautet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich erkrankt

ist?"

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Dein Ergebnis stimmt. Ich bekomme den selben Wert raus.

Warum dieser Wert so niedrig ist, kann ich dir leider nicht erklären. Was bei der Berechnung stark reinspielt, ist ja P(K) im Nenner und diese Wahrscheinlichkeit ist mit 0,02% ja auch nicht sehr hoch.
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Intuitiv wird es, wenn man sich vorstelle, dass man alle 100.000 Leute testet. Objektiv gesehen sind nur 20 krank. Aber bei 1% false positiv gibt der Test bei 1000 Leuten ein positives Ergebnis aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass man von den 1000 Leuten eben gerade zu den 20 gehört ist eben sehr gering, nämlich 2%. Dann hat man noch das falsch negativ Szenario. Das Ergebnis kann also schon auch intuitiv Sinn machen.   ─   h1tm4n 13.12.2021 um 17:12

Alles klar, ich danke euch :)   ─   cara 13.12.2021 um 17:30

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