Lineare Algebra

Aufrufe: 29     Aktiv: 18.02.2021 um 19:19

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Mir ist leider nicht ganz klar, wie dieses Beispiel zu löse ist. Allgemein wird vom Raum V -> W abgebildet, wobei die Dimension V = n ist und die Dimension von W = m ist. Das sei so definiert := A * x = y (Fortsetzungssatz) => A = (a1, a2 ..... ak) * (b1, b2 ..... bn) = (bs1, bs2 ,..... bsm)
Aus dieser Information abzuleiten, wie groß k ist, ist schwierig, normalerweise so groß wie die Dimension von V = n; f(V)= ist das Bild (nach Fortsetzungssatz) A * x; rg(A) = rg(f) ist äquivalent, Wie viel Zeilen hat A kann theoretisch nur m sein (falls n x m quadratisch => je nach Dimensionsbegriff) Und das letzte weiß ich nicht, die Spalten der Abbildungsmatrix müssen gleich sein, wie die Zeilen der BV = also muss und kann k = n sein ?

Keine Ahnung - ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Vielen, vielen Dank schon mal :)




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1 Antwort
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Die Abbildungsmatrix hat stets die Form \((f(b_1),f(b_2),\ldots,f(b_n))\), d.h. die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren. Das beantwortet gleich die letzte Frage, auch die Dimension der Matrix sollte jetzt klar sein: Es sind \(n\) Basisvektoren, und die Bilder sind \(m\)-dimensionale Vektoren, also gibt es \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten. \(f(V)=\{f(v)\ |\ v\in V\}\) ist das Bild von \(f\), also die Menge aller Vektoren in \(W\), die von \(f\) getroffen werden.
\(rg(f)=rg(A)\) stimmt zwar, kann aber nicht die Definition von beiden Ausdrücken sein. Üblicherweise ist \(rg(f)=\dim f(V)\) die Definition und \(rg(A)\) wird dann entweder als \(rg(A)=rg(f)\) oder als Anzahl der linear unabhängigen Spalten/Zeilen in der Matrix definiert. Dazu solltest du in deiner Vorlesung nachschauen.
Vieles von dem, was du schreibst, verstehe ich leider nicht. Wenn du noch Fragen hast, kannst du gerne nochmal nachfragen.
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Danke :) Ich zieh jetzt nur kurz weiter im Stoff (natürlich alles schon einmal gelernt - aber nicht geübt - leider) - falls noch Zeit bleibt, würde ich dich gerne noch fragen (Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitsrechnung) - sind nicht unbedingt meine Lieblingsthemen - sowie algebraisches Umformen bei Induktionsbeweisen   ─   infomarvin 18.02.2021 um 19:15

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