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Hallo NielsSchmidt,
ich würde die gesuchte Zahl \(z\) in Real- und Imaginärteil aufspalten, so dass sich die beiden Bedingungen zu
\( (I)~(a+ib) \cdot (a-ib)=5 \) und
\( (II)~\frac{a+ib}{a-ib}=\frac{3+4i}{5} \)
schreiben lassen. Aus den beiden Bedingungen erhälts du anschließend jeweils eine Gleichung mit \(a\) und \(b\) darin, welche du anschließend ineinander einsetzen kannst.
Falls du die Lösung zu der Aufgabe hättest, könntest du diese eventuell auch einmal kurz senden, dann könnte ich noch schauen, ob ich nicht selbst einen Fehler in der ganzen Rechnerei habe :)
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carl friedrich haus
Student, Punkte: 90
Student, Punkte: 90
Dennoch bleibe ich an derselben Stelle stehen und weiß nicht weiter..
(a+jb)^2 = 3+4j
Ich bin echt kein Fan der komplexen Rechnung.. ─ helpmath 27.12.2019 um 22:27
(a+jb)^2 = 3+4j
Ich bin echt kein Fan der komplexen Rechnung.. ─ helpmath 27.12.2019 um 22:27
Meine Ergebnisse stimmen mit der Lösung überein, dass ist schon mal gut und dein Ansatz ist ja schon mal ein Anfang.
Grundsätzlich können wir ja zunächst unsere erste Gleichung \( (I)\) wie folgt umformen:
Zunächst können wir die beiden Klammern ausmultiplizieren wodurch wir
\( (a+jb) \cdot (a-jb) = 5 \)
\( a^2-jab+jab-(jb)^2 =5 \)
erhalten. Nun fallen die beiden mittleren Summanden auf der linken Seite der Gleichung weg und im letzten Summand auf der linken Seite können wir noch \( j^2=-1 \) benutzen wodurch wir auf
\( a^2+b^2 =5~(III) \)
kommen.
Soweit so gut. Da wir mit dieser Gleichung alleine allerdings kein konkretes \(a\) oder \(b\) ausrechnen können, benötigen wir noch eine weitere Gleichung, welche wir aus \( (II) \) bekommen.
Dort können wir ausgehend von
\( \frac{a+jb}{a-jb} = \frac{3+4j}{5} \)
mit \(a-jb\) multiplizieren, um den komplexen Nenner auf der linken Seite weg zu bekommen. Vereinfachen wir das Ganze noch weiter und vergleichen die beiden Seiten der Gleichung, kommen wir auf eine zweite Gleichung in der wie in \( (III) \) nur noch \( a\) und \( b\) vorkommen. Ab da an können wir unser \( a\) und \( b\) ganz einfach durch Einsetzen ausrechnen.
─ carl friedrich haus 28.12.2019 um 01:21
Grundsätzlich können wir ja zunächst unsere erste Gleichung \( (I)\) wie folgt umformen:
Zunächst können wir die beiden Klammern ausmultiplizieren wodurch wir
\( (a+jb) \cdot (a-jb) = 5 \)
\( a^2-jab+jab-(jb)^2 =5 \)
erhalten. Nun fallen die beiden mittleren Summanden auf der linken Seite der Gleichung weg und im letzten Summand auf der linken Seite können wir noch \( j^2=-1 \) benutzen wodurch wir auf
\( a^2+b^2 =5~(III) \)
kommen.
Soweit so gut. Da wir mit dieser Gleichung alleine allerdings kein konkretes \(a\) oder \(b\) ausrechnen können, benötigen wir noch eine weitere Gleichung, welche wir aus \( (II) \) bekommen.
Dort können wir ausgehend von
\( \frac{a+jb}{a-jb} = \frac{3+4j}{5} \)
mit \(a-jb\) multiplizieren, um den komplexen Nenner auf der linken Seite weg zu bekommen. Vereinfachen wir das Ganze noch weiter und vergleichen die beiden Seiten der Gleichung, kommen wir auf eine zweite Gleichung in der wie in \( (III) \) nur noch \( a\) und \( b\) vorkommen. Ab da an können wir unser \( a\) und \( b\) ganz einfach durch Einsetzen ausrechnen.
─ carl friedrich haus 28.12.2019 um 01:21
Okay cool, danke! Das werde ich nachher einmal durchspielen und nachvollziehen. Einerseits verstehe ich die Anweisung, den Nenner von II mit a-jb zu multiplizieren, andererseits sagt eine Stimme in meinem Kopf, dass man eine komplexe Zahl (in dem Fall der Nenner a-jb) durch das Produkt mit der jeweils konjugierten komplexen Zahl reell macht. In dem Fall a+jb. Wo liegt mein Denkfehler? LG
─
helpmath
28.12.2019 um 12:17
Da hat die Stimme in deinem Kopf auch nicht Unrecht, dass würde genauso gehen. Du kannst ja mal mit \( (a+jb) \) multiplizieren und einfach weiterrechnen.
Schlussendlich ist es egal, wie du genau vorgehst oder ob du einen Rechenschritt mehr oder weniger benötigst. Solange du die Gleichung richtig umformst, also nicht gegen eine Rechenregel verstößt oder so etwas, musst du am Ende das gleiche Ergebnis herausbekommen. ─ carl friedrich haus 28.12.2019 um 14:05
Schlussendlich ist es egal, wie du genau vorgehst oder ob du einen Rechenschritt mehr oder weniger benötigst. Solange du die Gleichung richtig umformst, also nicht gegen eine Rechenregel verstößt oder so etwas, musst du am Ende das gleiche Ergebnis herausbekommen. ─ carl friedrich haus 28.12.2019 um 14:05
Bekomme ich leider nicht hin. Ich schaffe es nicht, die zweite Gleichung zu vereinfachen. Mit a-jb multipliziert ergibt bei mir folgendes:
I: a^2 + b^2 = 5
II: a+jb = ((3+4j) * (a-jb)) / 5
Aber wie bringe ich die beiden zusammen? Ich komme bei Gleichung II aufgelöst nach a auf:
a = 2ja - 4jb + 2b
Das kann ja vorne und hinten nicht richtig sein.. Könntest du mir die Lösung einmal aufschreiben? Gr ─ helpmath 28.12.2019 um 16:37
I: a^2 + b^2 = 5
II: a+jb = ((3+4j) * (a-jb)) / 5
Aber wie bringe ich die beiden zusammen? Ich komme bei Gleichung II aufgelöst nach a auf:
a = 2ja - 4jb + 2b
Das kann ja vorne und hinten nicht richtig sein.. Könntest du mir die Lösung einmal aufschreiben? Gr ─ helpmath 28.12.2019 um 16:37
Ausgehend von
\( a+jb = \frac{3+4j}{5} \cdot (a-jb) \)
können wir ja den Bruch einfach ausrechnen zu
\( a+jb = (0,6+0,8j) \cdot (a-jb) \).
Wenn wir nun die beiden Klammern ausmultiplizieren erhalten wir
\( a+jb = 0,6a-0,6bj+0,8aj+0,8b) \).
Schreiben wir das ganze etwas um in die Form
\( a+jb = 0,6a+0,8b+0,8aj-0,6bj) \)
und Klammern die imaginäre Einheit \( j\) aus
\( a+jb = 0,6a+0,8b+j(0,8a-0,6b)) \),
können wir die beiden Seiten vergleichen (Stichwort: Koeffizientenvergleich).
Wenn die beiden Seiten der Gleichung gleich sein sollen, muss
\( a = 0,6a+0,8b \) und
\( b = 0,8a-0,6b \)
gelten.
Egal welche der beiden Bedingungen wir nun nehmen, wir kommen beim Vereinfachen auf
\( a=2b \).
Mit dieser Gleichung können wir nun wieder zurück in unsere Gleichung aus \( (I) \) gehen, und ineinander einsetzen. ─ carl friedrich haus 29.12.2019 um 15:51
\( a+jb = \frac{3+4j}{5} \cdot (a-jb) \)
können wir ja den Bruch einfach ausrechnen zu
\( a+jb = (0,6+0,8j) \cdot (a-jb) \).
Wenn wir nun die beiden Klammern ausmultiplizieren erhalten wir
\( a+jb = 0,6a-0,6bj+0,8aj+0,8b) \).
Schreiben wir das ganze etwas um in die Form
\( a+jb = 0,6a+0,8b+0,8aj-0,6bj) \)
und Klammern die imaginäre Einheit \( j\) aus
\( a+jb = 0,6a+0,8b+j(0,8a-0,6b)) \),
können wir die beiden Seiten vergleichen (Stichwort: Koeffizientenvergleich).
Wenn die beiden Seiten der Gleichung gleich sein sollen, muss
\( a = 0,6a+0,8b \) und
\( b = 0,8a-0,6b \)
gelten.
Egal welche der beiden Bedingungen wir nun nehmen, wir kommen beim Vereinfachen auf
\( a=2b \).
Mit dieser Gleichung können wir nun wieder zurück in unsere Gleichung aus \( (I) \) gehen, und ineinander einsetzen. ─ carl friedrich haus 29.12.2019 um 15:51
z2 = -2-j
Ich habe versehentlich eine andere Lösung eben hier kommentiert und wieder gelöscht. ─ helpmath 27.12.2019 um 22:08