Wir wollen also das Doppelintegral \(\begin{align}I:=\int_0^2\int_{-1}^1\sqrt{|y-x^2|}dx\ dy\end{align}\) lösen.

Das Nervigste an diesem Integral ist der Betrag, deshalb versuchen wir erst mal, den loszuwerden. Das geht meist, indem man das Integral anhand des Vorzeichens des Terms im Betrag aufteilt und dann jedes Intervall einzeln integriert. Bevor wir das tun, vereinfachen wir noch ein bisschen. Wir vertauschen die Integrationsreihenfolge (möglich, da Intervall kompakt und Funktion stetig) und bemerken, dass der Integrand in \(x\) gerade ist und über ein symmetrisches Intervall integriert wird. Also erhalten wir

\(\begin{align}I=2\int_0^1\int_0^2\sqrt{|y-x^2|}dy\ dx=2\int_0^1\left[\int_0^{x^2}\sqrt{|y-x^2|}dy+\int_{x^2}^2\sqrt{|y-x^2|}dy\right]dx\end{align},\)

wobei wir im zweiten Schritt das innere Integral aufgeteilt haben. Kümmern wir uns zuerst um das erste Integral: Für \(y\leq x^2\) ist der Term im Betrag stets negativ, daher ist 

\(\begin{align}J_1:=\int_0^{x^2}\sqrt{|y-x^2|}dy=\int_0^{x^2}\sqrt{x^2-y}\ dy=\left[-\frac23(x^2-y)^{\frac32}\right]_0^{x^2}=\frac23x^3.\end{align}\)

Das zweite Integral geht ähnlich und wir erhalten

\(\begin{align}J_2:=\int_{x^2}^2\sqrt{|y-x^2|}dy=\frac23\sqrt{2-x^2}^3.\end{align}\)

Somit ergibt sich

\(\begin{align}I=2\int_0^1(J_1+J_2)dx=\frac43\int_{0}^1\left(x^3+\sqrt{2-x^2}^3\right)dx.\end{align}\)

Der erste Summand ist einfach, der zweite funktioniert z.B. mit der Substitution \(x=\sqrt2\sin t\), wenn man das Integral von \(\cos^4x\) berechnen kann (entweder über die Rekursionsformel für \(\cos^{2n}x\) oder über Additionstheoreme).

Als Ergebnis erhalten wir schließlich 

\(\begin{align}I=\frac53+\frac\pi2.\end{align}\)