Reihen (konvergiert oder divergiert?)

Aufrufe: 226     Aktiv: 17.11.2022 um 18:42

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Hallo alle!

Es geht hier um Reihen. Ich soll hier die Konvergenz bzw. Divergenz folgender Reihen (siehe Anhang) zeigen und Abschätzungen und Kriterien angeben.

Ich hab` dazu ein Beispiele gelöst. Könnt ihr mal einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Konvergenz bzw. Divergenz richtig abgeschätzt habe? Ich konnte mich nicht entscheiden, welche Abschätzung richtig ist. Könnt ihr mir mal einen Blick werfen und mir erklären, welche Abschätzung richtiger ist?

 

EDIT vom 14.11.2022 um 07:48:

Wie sieht's jetzt aus?

 

EDIT vom 16.11.2022 um 19:42:

also so sieht's dann aus.

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Hallo

Also du machst ja gar keine Abschätzungen. Ich bin der Meinung, dass beides falsch ist, wieso soll $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k+1}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k}$ sein? 

Für deinen zweiten Ansatz, es gilt nicht $k^{1/k}=k$, also auch dieser ist falsch.

Habt ihr schon Konvergenzkriterien behandelt? Wenn ja welche?

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In der Rechnung ist ausnahmslos jedes = falsch. Und die Reihe hat auch nichts mit der geom. Reihe zu tun.
Schau Dir erstmal die einfachen Beispiele in der Vorlesung genau an.
Und auch die Grundlagen der Aussagenlogik, damit Du verstehst, dass es nicht "richtiger als" gibt, es gibt nur richtig und falsch.
  ─   mikn 13.11.2022 um 22:47

Oben habe ich die Verbesserund gepostet. Passt‘s jetzt?   ─   anonym 14.11.2022 um 07:48

Nein. Tipp s.o. ("Schau...." und rechne die einfachen Beispiele aus der Vorlesung selbst durch).   ─   mikn 14.11.2022 um 12:00

Ich hab die beispiele aus der VO schon 3 x durchgerechnet...   ─   anonym 14.11.2022 um 21:13

Lade mal ein von Dir durchgerechnetes einfaches Beispiel aus der Vorlesung oben hoch und eines, was Dein Prof vorgerechnet hat.   ─   mikn 14.11.2022 um 21:20

Mikn, ich habe mich jetzt lange damit auseinandergesetzt und die Beispiele aus der Vorlesung gerechnet und habe nun ein Ergebnis. Wie sieht‘s jetzt aus? Wenn es wieder falsch ist, dann bin ich wirklich enttäuscht. Ich hoffe dass die Rechnung halbwegs passt.   ─   anonym 16.11.2022 um 19:44

Nein, passt nicht. "steigt schneller als" ist kein zulässiges Argument. Da stehen ein paar richtige Sachen, z.B. das Q-Krit, aber man merkt, dass Du nicht wirklich weißt was Du tust. Schau Dir in der Vorlesung (oder im Internet) alles in Ruhe und GANZ GENAU an und lies nach jeder Zeile erst weiter, wenn Du es verstanden hast.   ─   mikn 16.11.2022 um 19:55

Okay, mache ich, aber was ist hier genau falsch? Also was muss ich noch ändern außer das Argument? Passt das Wurzelkriterium? Und kannst du mir eine Seite empfehlen, wo das ganze erklärt wird außer wikipedia?   ─   anonym 16.11.2022 um 19:58

Einfach irgendwas hinschreiben ist keine gute Methode, egal für was. Erstmal gilt es für Dich die Grundlagen für konvergente Reihen aufzuarbeiten. Ich kann nicht einschätzen, was für Dich passt, videos, Internet-Skripten, was auch immer. Ich finde es bei wikipedia gut erklärt, aber Dir fehlen die Grundlagen. Du wirst ja auch Vorlesungsunterlagen haben.   ─   mikn 16.11.2022 um 20:13

Ja, habe ich schon, aber das Skript ist extrem kompliziert und da wird das auch nicht erklärt. Da sind sehr viele Beweise und ein paar Beispiele.   ─   anonym 16.11.2022 um 20:27

Und noch eine weitere Frage: Passt auch das Wurzelkriterium? Muss ich da noch was ändern?   ─   anonym 16.11.2022 um 20:27

Dir fehlen die Grundlagen, daher ist es sinnlos, was zu speziellen Kriterien zu sagen. Wenn Dein Skript zu kompliziert ist, such Dir ein anderes im Internet, oder Bücher, oder videos. Gehört zum Studium, sich selbst die Dinge zusammenzusuchen.   ─   mikn 16.11.2022 um 22:07

Ja, ich habe mir sehr viele Youtube videos angeschaut und Internetseiten dazu gelsen, aber die Beispiele, die sie vorgerechnet haben, waren viel zu einfach meiner Meinung nach. Und nach meiner Selbstrecherche sollte die Aufgabe so passen, denke ich..   ─   anonym 16.11.2022 um 23:04

Der entscheidende Parameter ist: Wieviele Beispiele hast Du selbst gerechnet (ohne in die Lösung zu schauen)? Viele Videos schauen/Seiten lesen, sagt gar nichts.
Ich hab meine Meinung zu Deiner Lösung gesagt.
  ─   mikn 16.11.2022 um 23:08

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich noch anders machen soll. Ich lasse die Aufgabe mal so stehen.   ─   anonym 17.11.2022 um 07:11

Es steht auf Deiner Rechnung 4mal konvergiert. Was denn nun? Aus Teilen davon kann man was machen, der Rest ist durcheinander oder Unsinn. Es fehlt ein roter Faden in der Argumentation. Hingeworfene Worte bringen nichts und taugen nicht als Begründung. Vollständige Sätze sind immer nützlich in Beweisen.   ─   mikn 17.11.2022 um 10:51

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Hallo,

hier mal ein paar Denkanstöße von mir.

Zeile 2 deines Aufschriebs ist leider völlig unverständlich. Du schreibst "Abschätzung", aber was danach kommt, ist doch überhaupt keine Abschätzung, sondern bestenfalls eine Argumentation. Des Weiteren schreibst du "\( 2^k \) steigt schneller als \(k\)". Was soll das denn (mathematisch präzise) bedeuten? Und warum stimmt das? Wenn du genauer darüber nachdenkst, dann wirst du hoffentlich feststellen, dass man solche Formulierungen in mathematischen Beweisen nicht verwenden sollte.

Im Übrigen ziehst du (wenn ich das richtig verstehe) einen falschen Schluss. Du zeigst in Zeile 2, dass die Folge \( \frac{k}{2^k} \) konvergiert (es ist sogar eine Nullfolge). Wäre die Folge keine Nullfolge, dann wäre die entsprechende Reihe divergent (das ist das Nullfolgenkriterium). Da die Folge aber gegen Null konvergiert, lässt sich mit dem Nullfolgenkriterium keine Aussage zur Konvergenz oder Divergenz machen. Du weißt damit also nicht, ob die Majorante \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} \) tatsächlich konvergiert.

Zum Majorantenkriterium an sich: Du hast richtig abgeschätzt und \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} \) ist tatsächlich eine konvergente Majorante. Die Konvergenz musst du aber noch zeigen. Vielleicht hast du ja schon mal gesehen, dass die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} \) für \( \vert q \vert < 1 \) konvergiert. Das könntest du hier dann verwenden.

Zum Quotientenkriterium: Deine Rechnungen sind richtig, aber du hast das Quotientenkriterium nicht richtig verstanden. Du zeigst \( \frac{\vert a_{k+1} \vert}{\vert a_k \vert } < 1 \) für fast alle \(k\). Du musst aber zeigen \( \frac{\vert a_{k+1} \vert }{\vert a_k \vert} \le q \) für fast alle \( k\) mit einer Konstanten \( q < 1 \). Das ist ein fundamentaler Unterschied, den du dir an der (divergenten) harmonischen Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \) mal überlegen kannst. Deinen Beweis kannst du glücklicherweise leicht anpassen. Du hast \( \frac{\vert a_{k+1} \vert}{\vert a_k \vert} = \frac{k+1}{2k} \) ja bereits ausgerechnet. Mit einfacher Bruchrechnung erhält man dann weiter \( \frac{k+1}{2k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2k} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) für \( k \ge 2 \). Man kann hier also \( q=\frac{3}{4} \) wählen.

Das Wurzelkriterium kenne ich nur in der Form mit dem Limes Superior. Falls das in deiner Vorlesung auf die gleiche Weise eingeführt wurde, solltest du das (meiner Meinung nach) hier auch so verwenden (auch wenn bei konvergenten Folgen der Limes gleich dem Limes Superior ist).

Ich hoffe, dass dir diese Anregungen helfen konnten.
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