Hallo

Also du machst ja gar keine Abschätzungen. Ich bin der Meinung, dass beides falsch ist, wieso soll $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k+1}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k}$ sein? 

Für deinen zweiten Ansatz, es gilt nicht $k^{1/k}=k$, also auch dieser ist falsch.

Habt ihr schon Konvergenzkriterien behandelt? Wenn ja welche?

Hallo,

hier mal ein paar Denkanstöße von mir.

Zeile 2 deines Aufschriebs ist leider völlig unverständlich. Du schreibst "Abschätzung", aber was danach kommt, ist doch überhaupt keine Abschätzung, sondern bestenfalls eine Argumentation. Des Weiteren schreibst du "\( 2^k \) steigt schneller als \(k\)". Was soll das denn (mathematisch präzise) bedeuten? Und warum stimmt das? Wenn du genauer darüber nachdenkst, dann wirst du hoffentlich feststellen, dass man solche Formulierungen in mathematischen Beweisen nicht verwenden sollte.

Im Übrigen ziehst du (wenn ich das richtig verstehe) einen falschen Schluss. Du zeigst in Zeile 2, dass die Folge \( \frac{k}{2^k} \) konvergiert (es ist sogar eine Nullfolge). Wäre die Folge keine Nullfolge, dann wäre die entsprechende Reihe divergent (das ist das Nullfolgenkriterium). Da die Folge aber gegen Null konvergiert, lässt sich mit dem Nullfolgenkriterium keine Aussage zur Konvergenz oder Divergenz machen. Du weißt damit also nicht, ob die Majorante \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} \) tatsächlich konvergiert.

Zum Majorantenkriterium an sich: Du hast richtig abgeschätzt und \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} \) ist tatsächlich eine konvergente Majorante. Die Konvergenz musst du aber noch zeigen. Vielleicht hast du ja schon mal gesehen, dass die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} \) für \( \vert q \vert < 1 \) konvergiert. Das könntest du hier dann verwenden.

Zum Quotientenkriterium: Deine Rechnungen sind richtig, aber du hast das Quotientenkriterium nicht richtig verstanden. Du zeigst \( \frac{\vert a_{k+1} \vert}{\vert a_k \vert } < 1 \) für fast alle \(k\). Du musst aber zeigen \( \frac{\vert a_{k+1} \vert }{\vert a_k \vert} \le q \) für fast alle \( k\) mit einer Konstanten \( q < 1 \). Das ist ein fundamentaler Unterschied, den du dir an der (divergenten) harmonischen Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \) mal überlegen kannst. Deinen Beweis kannst du glücklicherweise leicht anpassen. Du hast \( \frac{\vert a_{k+1} \vert}{\vert a_k \vert} = \frac{k+1}{2k} \) ja bereits ausgerechnet. Mit einfacher Bruchrechnung erhält man dann weiter \( \frac{k+1}{2k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2k} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) für \( k \ge 2 \). Man kann hier also \( q=\frac{3}{4} \) wählen.

Das Wurzelkriterium kenne ich nur in der Form mit dem Limes Superior. Falls das in deiner Vorlesung auf die gleiche Weise eingeführt wurde, solltest du das (meiner Meinung nach) hier auch so verwenden (auch wenn bei konvergenten Folgen der Limes gleich dem Limes Superior ist).

Ich hoffe, dass dir diese Anregungen helfen konnten.