Determinante bestimmen

Aufrufe: 206     Aktiv: 07.02.2021 um 17:18

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Ich muss die Determinante folgender reellen nxn-Matrix bestimmen.
      
            1      2      3      4       5
    
A=       1      a      0      ...      0
           a      1       a               .
           0      a       ...    ...       0
           .               
           .                ...    1        a
           .
          0     ...        0     a        1


bei der dritten Spalte sollen die Pünktchen jeweils eine Diagonale sein...leider ist es schwierig die Matrix zu tippen. Die zweiten Pünktchen in der dritten Zeile und vierten Spalte genau so 
Bei der vierten Spalte steht unter den Pünktchen nichts und unter dem a in der zweiten Spalte genau so. Der Punkt in der fünften Spalte soll widerum drei Pünktchen untereinander darstellen.
Ich weiß, dass die Pünktchen Platzhalter sind und es quasi unendlich weiter geht, aber wie soll man die Determinante davon berechnen?
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gefragt

Punkte: 93

 

Das Bild wird bei mir leider nicht angezeigt.   ─   1+2=3 05.02.2021 um 15:46

Hmm komisch, ich versuche das die ganze Zeit zu ändern :/   ─   anonym 05.02.2021 um 17:14

Vielleicht hilft es, wenn du diese Frage hier löscht und das Bild nochmal in einer neuen Frage hochlädst :)   ─   1+2=3 05.02.2021 um 17:17

Funktioniert trotzdem nicht, schade :/   ─   anonym 05.02.2021 um 17:21

was heißt denn gedownvotet?   ─   anonym 05.02.2021 um 17:25

Ja, aber was ist denn der Sinn dahinter, also was bringt das denn?   ─   anonym 05.02.2021 um 17:27

Wie Befriedigung für den Klicker? Ich verstehe nicht, was du meinst.   ─   anonym 05.02.2021 um 17:38

Also ich verstehe nicht, wieso du das gedownvotet hast bzw. was für einen Sinn hat dieses Voten denn?   ─   anonym 05.02.2021 um 17:42

Wieso löschst du denn jetzt deine Nachrichten pipifax? XD   ─   anonym 05.02.2021 um 17:45

Kannst du denn mir bitte erklären, wieso du das denn erst gemacht hast? Also ich verstehe den Sinn hinter diesem Voten nicht.   ─   anonym 05.02.2021 um 17:46

alles klar XD habe keine Fragen mehr   ─   anonym 05.02.2021 um 17:48

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@pipifax löscht gerne seine Antworten und Kommentare :)   ─   1+2=3 05.02.2021 um 18:25

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Ja bei @pipifax musst du schnell sein 😜🤙   ─   maqu 05.02.2021 um 18:27

Ihr beide bekommt jeweils einen Upvote ;) haha oh man ey, das versüßt gerade meinen Tag :D   ─   anonym 05.02.2021 um 18:39

Hoffe mal upvote ist etwas gutes, weil ich das tatsächlich mit dem voten nicht verstehe XD   ─   anonym 05.02.2021 um 18:41

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hat @pipfax dich denn gedownvoted - der ist doch normal für's Gegenteil bekannt. Muss man sich um ihn sorgen?   ─   monimust 05.02.2021 um 19:10

Ja hat er und dann hat er es zurück genommen...bin immer noch verwirrt :D aber alles gut
Also ich würde nein sagen, aber auf meine Fragen habe ich leider keine richtigen Antworten bekommen. Wozu dient denn dieses Voten?
  ─   anonym 05.02.2021 um 19:13

und kann mir bitte einer helfen -.- ich kriege es immernoch nicht hin ein Bild hochzuladen -.-
bitteeee :(
  ─   anonym 05.02.2021 um 19:15

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Antworten, die falsch sind oder einfach die Lösung reingestellt oder unbrauchbar ..., werden von "Vorbeischauenden" oder dem Frager schon mal nach unten gevotet, oder, wenn gut/hilfreich in die andere Richtung. Bei Fragen selbst, kommt das eher selten vor, aber wenn einer z.B. nach Hilfe während einer online-Klausur sucht oder einfach eine Buchseite reinstellt mit dem Auftrag an uns, die Lösungen zu posten, gibts downvotes. Auf dem Punktekonto macht sich das dann mit+- 5 bemerkbar.   ─   monimust 05.02.2021 um 19:21

versuch mal mit kopieren /einfügen, das klappt bei mir immer (wenn es sich kopieren lässt)   ─   monimust 05.02.2021 um 19:23

Eeendlich! Jetzt weiß ich was dieses Voten für einen Sinn hat. Dankeschön!

Aber nein, ich wollte nur einen Ansatz :)
  ─   anonym 05.02.2021 um 19:24

okay mach ich danke!
  ─   anonym 05.02.2021 um 19:24

nein, funktioniert leider auch nicht :/ trz danke   ─   anonym 05.02.2021 um 19:27

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Kannst du die Matrix bzw. die Aufgabenstellung vielleicht einfach aptippen?   ─   stal 05.02.2021 um 19:30

@stal ich habe es mal versucht, hoffe man versteht was gemeint ist :) Danke für die Bemühung mir zu helfen !   ─   anonym 05.02.2021 um 19:41

Ja schade, der Lösungsweg wäre echt interessant :/ aber okay danke XD   ─   anonym 05.02.2021 um 20:04

Sehe ich das richtig, dass es eine 5x5 Matrix ist?   ─   1+2=3 05.02.2021 um 20:25



Ja,Also in der Aufgabe steht:
Reelle n×n- Matrix.
Also ich habe das so verstanden, dass diese Pünktchen darstellen, dass die Matrix unendlich weiter geht..
  ─   anonym 05.02.2021 um 20:31

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1 Antwort
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Da es hier um eine allgemeine Matrix geht, schaut das für mich nach einem klassischen Induktionsbeweis aus. Berechne doch mal die Determinanten für \(n\in\{1,2,3,4\}\) und schau, ob du eine Regelmäßigkeit erkennst. Stelle dann eine Behauptung für den allgemeinen Fall auf und versuche diese mit Hilfe von vollständiger Induktion zu beweisen. Hier kann der Laplace'sche Entwicklungssatz hilfreich sein, da die Matrix sehr viele Nullen hat.
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Selbstständig, Punkte: 6.52K
 

Muss ich dann statt die Punkte die Zahl einsetzen? Tut mir leid, aber so eine Matrix hatten wir nicht, aber leider kann das laut dem Dozenten klausurrelevant sein :/   ─   anonym 05.02.2021 um 21:11

Das bedeutet nur, dass die Matrix einfach auf gleiche Weise fortgesetzt wird. Für die Punkte setzt du nichts ein, wie du es von Variablen kennst. Die Matrix hat einfach nur auf der Hauptdiagonalen immer eine 1 stehen und auf den Nebendiagonalen steht a. Je nachdem, wie nun die Dimension der Matrix ist, ist diese halt unterschiedlich groß.   ─   cauchy 05.02.2021 um 21:15

Okay, aber wie berechne ich sie denn für n ∈ {1,2,3,4 }?   ─   anonym 05.02.2021 um 21:21

Stelle die Matrix für die verschiedenen Werte von \(n\) auf und berechne die Determinante. Weißt du überhaupt, wie man deine Determinante berechnet?   ─   cauchy 05.02.2021 um 21:26

Ja, weiß ich: Es gibt die Formel ad-bc für 2x2-Matrizen, die Sarrus-Rechenregel, die man für 3x3 Matrizen benutzen kann aber nicht für größere Matrizen oder man kann die Matrix auch auf die Stufenform bringen und dann die Zahlen in der Diagonale zusammenfassen. Man kann auch nach Zeilen/Stufen entwickeln.

Ich verstehe nur nicht was du genau meinst mit die Matrix für die Werte von n zu berechnen.
Sagen wir mal ich will sie für n=2 berechnen...wie muss ich das machen? Also ich verstehe leider nicht wie ich das angehen muss.
  ─   anonym 05.02.2021 um 21:31

Wie sieht denn die Matrix für \(n=2\) aus?   ─   cauchy 05.02.2021 um 21:35

Kommen zwei Spalten und zwei Zeilen hinzu? Aber ich kann nicht wissen die diese aussehen, oder? Bzw. ich wüsste es nicht..   ─   anonym 05.02.2021 um 21:48

Nicht "hinzu". Du hast nur zwei Spalten und zwei Zeilen. Und deine Matrix hat die Form wie oben. Also $$\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 1\end{pmatrix}$$. Wie sieht die Matrix für \(n=3\) aus?   ─   cauchy 05.02.2021 um 22:02

Ach ne, moment

1 a 0
a 1 a
0 1 ...
  ─   anonym 05.02.2021 um 22:17

also zu dieser zu der Matrix kommt dann immer eine Zeile und eine Spalte hinzu.
n+1 wäre dann mein Induktionsbehauptung?
Wie sehe dann aber mein Induktionsschritt aus?
Könnte man dann behaupten, dass je mehr Zeilen/Spalten dazu kommen, die Determinante auch größer wird oder ist das gerade alles Quatsch was ich erzähle :D
  ─   anonym 05.02.2021 um 22:29

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Ja, die Matrix stimmt und ja es geht dann immer so weiter. Das deuten die Punkte in der Matrix an. ;)

Deinen Induktionsschritt kannst du mit Hilfe des Entwicklungssatzes machen. Da kommt dann unter anderem Die Matrix vor, dessen Determinante du nach Induktionsannahme schon kennst.

Ob die Determinante immer größer oder kleiner wird, hängt vermutlich von \(a\) ab.
  ─   cauchy 05.02.2021 um 22:51

Ah okay,

Induktionsschritt wäre dann zb die Matrix für n=3 nehmen, nach Zeile/Spalte eliminieren und es kommt die Matrix für n=2 raus.

Aber leider habe ich noch nicht so ganz verstanden wie man mit der Induktion die Determinante ausrechnet..
  ─   anonym 05.02.2021 um 22:58

Ist meine Induktionsbehauptung richtig ?   ─   anonym 05.02.2021 um 23:04

Würde ich gerne sagen,aber ich habe es am Ende leider nicht verstanden   ─   anonym 07.02.2021 um 17:18

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