Question

Beweis, dass (M, +) eine Gruppe bildet (M= Menge ganzer Zahlen, die durch 2 teilbar sind)

Aufrufe: 921 Aktiv: 07.05.2020 um 18:04

0

Hallo, ich hab eine Frage zur formalen Schreibung bei diesen Beweisen. Ist es so korrekt, also würde das als Beweis gelten?

Hier die volle Aufgabe:
Es sei M die Menge aller Geraden Zahlen aus Z, also die Menge aller ganzen Zahlen, die durch
2 teilbar sind. Beweisen Sie, dass (M, +) eine Gruppe bildet, indem Sie alle vier Gruppenei-
genschaften zeigen.

Ich hab hier schon die ersten drei Gruppenaxiome bewiesen. Bei dem neutralen Element und den Inversen Elementen glaube ich, ist es richtig, nur bei dem Assoziativitäts-Beweis wusste ich nicht wie ich ein allgemeinen Beweis heranführen kann.

Assoziativität: d.h. (2x + 2y) + 2z = 2x + (2y + 2z);

         Beispiel: x=2, y=4, z=6;
                       (2*2 + 2*4) + 2*6 = 2*2 + (2*4 + 2*6);
                       ( 4   + 8 ) + 12   = 4   + ( 8 + 12 );
                              12    + 12 = 4 + 20;
                                          20 = 20;
   Beweis: Bei Additionen darf man stets beliebig Klammern vertauschen, weglassen oder hinzunehmen

Neutrales Element: d.h x Element aus M: 2x + e = 2x;
         Beispiel: x = 4;
                       2*4 + e = 2*4;
                       8    + e = 8; |-8
                                 e = 0;
         Beweis: 2x   + e = 2x;    |-2x
                                  e = 0;
                        Für keine andere ganze durch 2 teilbare Zahl außer dem Element 0 würde ein Element aus
                        M addiert mit dem neutralen Element sich selbst ergeben. Also muss das neutrale Element 0
                        sein.

Inverse Elemente: d.h. für jedes Element 2x gibt es ein inverses Element. Es sei 2x' die Negation von 2x
                              d.h. 2x' + 2x = 2x + 2x' = 0;
         Beispiel: x=2;
                       2*(-2) + 2*2 = 2*2 + 2*(-2);
                       (-4)    + 4   = 4 + (-4);
                                      0   = 0;
         Beweis: 2x + (-2x) = e = 0;
                       2x - 2x      = 0;
                       0               = 0;
                       Addiert man zu einer ganzen Zahl 2x, die Negation 2x', so erhält man stets das neutrale
                       Element von Plus, also das Element 0 aus den ganzen Zahlen (Z).

Bei dem Beweis mit der Abgeschlossenheit bin ich mir sehr unsicher wie ich es aufzeigen/ aufschreiben soll.

Ich verstehe, dass dieses Axiom auch erfüllt sein muss, denn wenn nur durch 2 teilbare ganze Zahlen zugelassen werden, dann muss auch zwangsläufig eine gerade Zahl bei der Verknüfung + herauskommen, weil irgendein 2x + irgendein 2y = 2 (x+y) gibt.

Abgeschlossenheit:

          Beispiel: 2x + 2x = 2y; für x=2;
                        4x = 2y;
                        8 = 2y;
                        4 = y;

          Beweis: 2x + 2y = 2(x+y)

Ich denke nicht, dass das als Beweis reicht oder?

~ Bin dankbar für jede Antwort :)

Teilen Diese Frage melden

gefragt 07.05.2020 um 17:07

ilililian
Student, Punkte: 16

Kommentar schreiben

2 Antworten

0

assoz, abgeschl, neutr elem passt alles, bei inversen würde ich aber noch schreiben wieso -2x durch 2 teilbar ist

übrigens musst du hier ja eigentlich nur zeigen, dass das eine UG von (Z,+) ist - also reicht schon nicht leer (normalerweise zeigt man dafür 0 enthalten ist), abgeschl und inv enthalten

und wenn du das abgibst dann lass die beispiele weg

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 07.05.2020 um 17:14

b_schaub
Student, Punkte: 2.33K

Ah vielen dank für die Antwort. Das heißt generell Beispiele sind eigentlich unnötig (außer es wir danach gefragt). Aber was meinst du mit "also reicht schon nicht leer".?
Das die Untergruppe auch das Element 0 enthält?

"wieso -2x durch 2 teilbar ist". Reicht es da nicht zu schreiben, dass -2x einfach die Negation von 2x ist? -2x ist doch einfach jede negative durch zwei teilbare Zahl oder wie soll man das beschreiben? (Kenn mich bei formalen Beweisen nicht so aus ^^)

─ ilililian 07.05.2020 um 17:20

wahrscheinlich habt ihr in der vl besprochen, dass man für ug braucht, dass das neutr elem enthalten ist - theoretisch reicht aber auch schon zu zeigen das irgendein element enthalten ist, weil dann wegen inv enthalten und abgeschl schon folgt dass 0 enthalten ist. trotzdem ist es meistens das einfachste zu zeigen, dass 0 enthalten ist um nicht leer zu sein

am anfang wird meistens ziemlich viel wert darauf gelegt das alles formal korrekt ist. deswegen würde ich -2x umschreiben als 2*(-x), und das ist auf jeden fall in der menge (sonst müsstest du ja zeigen, dass es äquivalent ist durch 2 teilbar zu sein zu durch -2 teilbar sein, was natürlich auch richtig wäre) ─ b_schaub 07.05.2020 um 17:26

und ne beispiele brauchst du nie - außer es ist ein existenzbeweis (also zeigen, dass so und so ein element existiert / nicht existiert) ─ b_schaub 07.05.2020 um 17:27

Ah okay, verstehe. Vielen dank! ─ ilililian 07.05.2020 um 17:41

Kommentar schreiben

42 · Accepted Answer · 2020-05-07T18:04:11Z

Der Beweis ist leider sehr unsauber geführt.

Bei der Assoziativität musst du darüber argumentieren, dass sich die Assoziativität aus der Gruppe \((\mathbb{Z},+)\) vererbt, da \(M \subset \mathbb{Z} \) ist, und die Addition in \(M\) der (eingeschränkten) Addition in \(\mathbb{Z}\) entspricht. So etwas zu sagen wie "Bei Addition darf man stets beliebig Klammern vertauschen, weglassen oder hinzunehmen" ist für einen Beweis nicht formal genug.

Auch beim neutralen Element ist der Nachweis unsauber. Du machst aus der Gleichung \(2x+e = 2x\) durch Addition des Inversen von \(2x\) die Gleichung \(e = 0\). Aber sowas darfst du nicht tun. Du weißt ja noch überhaupt nicht, dass \(2x\) in \(M\) ein Inverses besitzt. Außerdem sagt die Folgerung \(e=0\) auch nur aus, dass wenn es ein neutrales Element gibt, dieses Element dann Null sein muss. Das weist aber nicht die Existenz des neutralen Elements nach. Formal korrekt wäre hier: Es gilt \(0 \in M\), da \(0 = 2 \cdot 0\), und für alle \(m \in M\) gilt \(m+0=m\) wie in \((\mathbb{Z},+)\). Also ist \(0\) neutrales Element in \(M\).

Im Beweis zur Existenz eines Inversen fehlt der Nachweis, dass zu \(2x \in M\) auch \(-2x \in M\) ist. Außerdem sollte man so etwas nicht durch Äquivalenzumformungen zeigen (das ist schlechter Stil). Ein guter Nachweis wäre: Sei \(m \in M\), dann können wir \(m=2x\) mit \(x \in \mathbb{Z}\) schreiben. Es gilt \(-2x=2(-x) \in M\) (wobei \(-2x\) das Inverse von \(2x\) in \((\mathbb{Z},+)\) sei und wir die Umformung im Ring \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) betrachten) und es gilt \(m-2x=2x-2x=0\) wie in \((\mathbb{Z},+)\). Also besitzt \(m\) ein Inverses in \(M\).

Die Abgeschlossenheit zeigt man zum Beispiel so: Seien \(m,n \in M\). Wir schreiben \(m=2x\) und \(n=2y\) für \(x,y \in \mathbb{Z}\). Es gilt \(m+n=2x+2y=2(x+y) \in M\) (wobei wir die Umformung im Ring \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) betrachten). Also ist \((M,+)\) abgeschlossen.