Ich muss zeigen, dass ein Endomorphismus des IR^3 immer einen echten invarianten Unterraum besitzt.

Ich bin nun soweit gekommen:
(i) "echt" schliesst die trivialen invarianten Unterräume (Nullraum und IR^3) aus.
(ii) Ein eindimensionaler Unterraum U = IRx , x aus IR^3 ist invariant, wenn x ein Eigenvektor ist.
(iii) Es gilt also zu zeigen, dass ein beliebiger Endomorphismus p: IR^3 --> IR^3 einen Eigenwert besitzt.
(iv) p kann als Matrix dargestellt werden. Sei diese A.
(v) Die Eigenwerte von p sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Xp(t) = (A-tE), wobei E die 3x3-Einheitsmatrix ist.

Wie kann ich nun zeigen, dass das charakteristische Polynom immer eine Nullstelle besitzt? Daraus würde ja dann folgen, dass p immer einen Eigenwert und somit immer einen invarianten Unterraum besitzt.

Vielen Dank!