Beweis Endomorphismus / invarianter Unterraum

Aufrufe: 202     Aktiv: 12.03.2022 um 01:20

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Ich muss zeigen, dass ein Endomorphismus des IR^3 immer einen echten invarianten Unterraum besitzt.

Ich bin nun soweit gekommen:
(i) "echt" schliesst die trivialen invarianten Unterräume (Nullraum und IR^3) aus.
(ii) Ein eindimensionaler Unterraum U = IRx , x aus IR^3 ist invariant, wenn x ein Eigenvektor ist.
(iii) Es gilt also zu zeigen, dass ein beliebiger Endomorphismus p: IR^3 --> IR^3 einen Eigenwert besitzt.
(iv) p kann als Matrix dargestellt werden. Sei diese A.
(v) Die Eigenwerte von p sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Xp(t) = (A-tE), wobei E die 3x3-Einheitsmatrix ist.

Wie kann ich nun zeigen, dass das charakteristische Polynom immer eine Nullstelle besitzt? Daraus würde ja dann folgen, dass p immer einen Eigenwert und somit immer einen invarianten Unterraum besitzt.

Vielen Dank!
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Das char. Polynom hat ja Grad 3. Was weißt Du über Nullstellen von Polynomen vom Grad 3? Beachte, wir brauchen eine reelle Nullstelle.
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Jedes Polynom ungeraden Grades hat eine reelle Nullstelle :) Vielen Dank!   ─   jonase.gluch 12.03.2022 um 01:20

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